Номер 211, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, если KМ = а.

По условию задачи, плоскость правильного треугольника $KDM$ и плоскость квадрата $KMNP$ взаимно перпендикулярны. Они имеют общую сторону $KM$, длина которой равна $a$.

Рассмотрим треугольник $KDM$. Так как он правильный (равносторонний), все его стороны равны $a$: $KD = DM = KM = a$. Проведем в нем высоту $DH$ к стороне $KM$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $KM$. Длину высоты $DH$ можно вычислить по формуле для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$:

$DH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Поскольку плоскости $(KDM)$ и $(KMNP)$ перпендикулярны, а прямая $DH$ лежит в плоскости $(KDM)$ и перпендикулярна их линии пересечения $KM$ (так как $DH$ - высота), то $DH$ перпендикулярна всей плоскости квадрата $(KMNP)$.

Следовательно, прямая $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости квадрата, в том числе и прямой $HN$. Таким образом, треугольник $DHN$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DHN = 90^\circ$.

Чтобы найти гипотенузу $DN$ прямоугольного треугольника $DHN$, нам нужно найти длину второго катета $HN$. Точки $H$, $M$, $N$ лежат в плоскости квадрата $KMNP$. Рассмотрим треугольник $HMN$. Так как $KMNP$ — квадрат, угол $\angle KMN = 90^\circ$. Мы знаем, что $HM = \frac{1}{2} KM = \frac{a}{2}$ (поскольку $H$ — середина $KM$) и $MN = a$ (как сторона квадрата). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $HMN$:

$HN^2 = HM^2 + MN^2 = (\frac{a}{2})^2 + a^2 = \frac{a^2}{4} + a^2 = \frac{a^2 + 4a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

Теперь, зная квадраты длин обоих катетов треугольника $DHN$, можем найти квадрат его гипотенузы $DN$ по теореме Пифагора:

$DN^2 = DH^2 + HN^2$

$DN^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{5a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + \frac{5a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} = 2a^2$

Из этого следует, что длина отрезка $DN$ равна:

$DN = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Ответ: $a\sqrt{2}$.