Номер 218, страница 70 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

218. Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

а)

По определению, призма – это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим произвольную боковую грань прямой призмы. Пусть это будет грань, образованная стороной основания $A_1A_2$ и соответствующей ей стороной другого основания $B_1B_2$, а также боковыми ребрами $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Эта грань $A_1A_2B_2B_1$ по определению призмы является параллелограммом.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости, в которой лежит основание с вершинами $A_1, A_2, \dots$. Это означает, что ребро $A_1B_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$. В частности, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно стороне основания $A_1A_2$.

Таким образом, угол $\angle B_1A_1A_2$, образованный сторонами параллелограмма $A_1A_2B_2B_1$, является прямым, то есть его мера составляет $90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Так как это рассуждение применимо к любой боковой грани прямой призмы, мы заключаем, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Из доказательства в пункте а) следует, что раз правильная призма является частным случаем прямой призмы, то все ее боковые грани – прямоугольники. Остается доказать, что эти прямоугольники равны между собой.

Рассмотрим боковые грани правильной призмы. Каждая такая грань является прямоугольником.

Две стороны каждого такого прямоугольника являются сторонами оснований. Поскольку в основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, все его стороны равны. Обозначим длину стороны основания как $a$.

Две другие стороны каждого прямоугольника являются боковыми ребрами призмы. По свойству призмы, все ее боковые ребра параллельны и равны. Обозначим их длину (которая также является высотой призмы) как $h$.

Следовательно, каждая боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$.

Прямоугольники считаются равными, если их соответствующие стороны равны. Так как все боковые грани имеют одинаковые размеры $a \times h$, они все равны между собой.

Ответ: Что и требовалось доказать.