Номер 222, страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Двугранные углы при боковых ребрах прямой призмы равны соответствующим внутренним углам многоугольника, лежащего в ее основании. Это следует из того, что боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобедренной трапеции, заданной в условии.

Пусть основанием призмы является равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 25$ см, $BC = 9$ см, а высота трапеции $h = 8$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: $AH = KD$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 9$ см.Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Длины его катетов известны: $AH = 8$ см и высота $BH = 8$ см. Так как катеты равны, треугольник $ABH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны по $45^\circ$. Следовательно, угол трапеции при вершине $A$ равен $45^\circ$:
$\angle A = 45^\circ$.
Это можно также проверить с помощью тангенса угла:
$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{8} = 1$, что соответствует углу $\angle A = 45^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при каждом из оснований равны.
Угол при вершине $D$: $\angle D = \angle A = 45^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании равны:
$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, внутренние углы трапеции в основании призмы равны $45^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$ и $45^\circ$. Следовательно, двугранные углы при боковых ребрах призмы имеют те же значения.

Ответ: два двугранных угла равны по $45^\circ$ и два других — по $135^\circ$.