Страница 71 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

221. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1 B_1 C_1$ — верхнее. По условию задачи, сторона основания $a = 8$ см, а боковое ребро (которое также является высотой призмы) $h = 6$ см.

Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через сторону верхнего основания, например $A_1 B_1$, и противолежащую вершину нижнего основания, то есть $C$. Таким образом, искомое сечение — это треугольник $A_1 B_1 C$.

Основание этого треугольника, сторона $A_1 B_1$, является стороной верхнего основания призмы, поэтому её длина равна $a = 8$ см. Треугольник $A_1 B_1 C$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $A_1 C$ и $B_1 C$ — это равные диагонали равных боковых граней (прямоугольников $AA_1 C_1 C$ и $BB_1 C_1 C$).

Для нахождения площади треугольника $S_{A_1 B_1 C}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Проведем высоту $CK_1$ к основанию $A_1 B_1$. Длину высоты $CK_1$ можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассмотрев вспомогательный прямоугольный треугольник $CKK_1$, где $K_1$ — середина стороны $A_1 B_1$, а $K$ — проекция точки $K_1$ на нижнее основание (то есть середина стороны $AB$).

Один катет этого вспомогательного треугольника, $KK_1$, равен высоте призмы: $KK_1 = h = 6$ см. Второй катет, $CK$, является высотой равностороннего треугольника $ABC$ в основании призмы. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вычисляем $CK$: $CK = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Так как призма правильная, ребро $KK_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и отрезку $CK$. Следовательно, треугольник $CKK_1$ — прямоугольный. Находим его гипотенузу $CK_1$ (которая является высотой нашего сечения) по теореме Пифагора: $CK_1^2 = CK^2 + KK_1^2 = (4\sqrt{3})^2 + 6^2 = 16 \cdot 3 + 36 = 48 + 36 = 84$. $CK_1 = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Теперь, зная основание ($A_1 B_1 = 8$ см) и высоту ($CK_1 = 2\sqrt{21}$ см) треугольника-сечения, находим его площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot A_1 B_1 \cdot CK_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{21} = 8\sqrt{21}$ см?.

Ответ: $8\sqrt{21}$ см?.

222. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Двугранные углы при боковых ребрах прямой призмы равны соответствующим внутренним углам многоугольника, лежащего в ее основании. Это следует из того, что боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскостям оснований. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобедренной трапеции, заданной в условии.

Пусть основанием призмы является равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 25$ см, $BC = 9$ см, а высота трапеции $h = 8$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны: $AH = KD$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 9$ см.Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD - HK}{2} = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Длины его катетов известны: $AH = 8$ см и высота $BH = 8$ см. Так как катеты равны, треугольник $ABH$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе в таком треугольнике равны по $45^\circ$. Следовательно, угол трапеции при вершине $A$ равен $45^\circ$:
$\angle A = 45^\circ$.
Это можно также проверить с помощью тангенса угла:
$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{8}{8} = 1$, что соответствует углу $\angle A = 45^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы при каждом из оснований равны.
Угол при вершине $D$: $\angle D = \angle A = 45^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании равны:
$\angle B = \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Таким образом, внутренние углы трапеции в основании призмы равны $45^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$ и $45^\circ$. Следовательно, двугранные углы при боковых ребрах призмы имеют те же значения.

Ответ: два двугранных угла равны по $45^\circ$ и два других — по $135^\circ$.

223. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 642 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

Пусть ребро куба равно $a$. Сечение, проходящее через два противолежащих ребра куба, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна ребру куба $a$, а другая — диагонали грани куба.

Найдем длину диагонали грани по теореме Пифагора. Диагональ грани является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны ребру куба $a$. Таким образом, длина диагонали грани составляет $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь $S$ этого прямоугольного сечения равна произведению длин его сторон:$S = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь сечения равна $64\sqrt{2}$ см?. Приравняем это значение к полученной формуле, чтобы найти длину ребра куба:$a^2\sqrt{2} = 64\sqrt{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:$a^2 = 64$

Поскольку длина ребра — положительная величина, извлечем квадратный корень:$a = \sqrt{64} = 8$ (см).

Теперь найдем диагональ куба $d$. Диагональ куба — это отрезок, соединяющий две противолежащие вершины. Ее можно найти по формуле $d = a\sqrt{3}$. Подставим найденное значение $a = 8$ см:$d = 8\sqrt{3}$ (см).

Этот результат также можно получить с помощью теоремы Пифагора. Диагональ куба $d$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат ребро куба $a$ и диагональ грани $a\sqrt{2}$.$d^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$$d = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ (см).

Ответ: ребро куба равно 8 см, а его диагональ — $8\sqrt{3}$ см.

224. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 42 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании такой призмы лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Обозначим сторону основания как $a$, а высоту призмы как $h$.

1. Найдём сторону основания призмы.

Основанием является квадрат $ABCD$. Диагональ основания, например $AC$, связана со стороной квадрата $a$ (где $a=AB=BC=CD=DA$) соотношением $d_{основания} = a\sqrt{2}$. По условию, диагональ основания равна $4\sqrt{2}$ см. Следовательно, мы можем записать уравнение:

$AC = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Отсюда находим, что сторона основания $a = 4$ см.

2. Найдём высоту призмы.

Диагональ призмы, например $AC_1$, наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость основания $ABC$ является диагональ основания $AC$. Таким образом, угол $\angle C_1AC = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AC_1C$, в котором угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию. В этом треугольнике катет $AC = 4\sqrt{2}$ см (диагональ основания), а катет $CC_1 = h$ (высота призмы). Высоту $h$ можно найти через тангенс угла $\angle C_1AC$:

$\tan(\angle C_1AC) = \frac{CC_1}{AC}$

$h = CC_1 = AC \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см.

3. Найдём площадь сечения.

Искомое сечение проходит через сторону нижнего основания, например $AD$, и противолежащую ей сторону верхнего основания $B_1C_1$. Полученное сечение — это четырёхугольник $ADC_1B_1$.

Поскольку призма правильная, то $AD \parallel BC$ и $BC \parallel B_1C_1$, следовательно $AD \parallel B_1C_1$. Также их длины равны: $AD = B_1C_1 = a = 4$ см. Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Докажем, что этот параллелограмм является прямоугольником. Так как призма прямая, боковая грань $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Ребро $AD$ лежит в плоскости основания и перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей ($CD$, так как $ABCD$ - квадрат). Следовательно, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$. Это означает, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $DC_1$. Таким образом, угол $\angle ADC_1 = 90^\circ$.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником, значит, сечение $ADC_1B_1$ — это прямоугольник. Его площадь равна произведению длин смежных сторон $AD$ и $DC_1$.

Длина стороны $AD = a = 4$ см.

Длину стороны $DC_1$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle DCC_1$ (угол $\angle DCC_1 = 90^\circ$) по теореме Пифагора:

$DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2$

$DC_1^2 = a^2 + h^2 = 4^2 + (4\sqrt{6})^2 = 16 + 16 \cdot 6 = 16 + 96 = 112$

$DC_1 = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Теперь можем вычислить площадь сечения $S_{ADC_1B_1}$:

$S = AD \cdot DC_1 = 4 \cdot 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{7}$ см$^2$.

225. Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. Обозначим сторону основания (квадрата $ABCD$) как $a$, а высоту призмы (длину бокового ребра $AA_1$) как $h$.

Рассмотрим диагональ призмы $B_1D$. Угол между этой диагональю и плоскостью боковой грани, например, гранью $CDD_1C_1$, по условию равен $30^\circ$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдём проекцию диагонали $B_1D$ на плоскость боковой грани $(CDD_1)$. Точка $D$ уже лежит в этой плоскости. Чтобы спроецировать точку $B_1$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $(CDD_1)$. Так как призма правильная, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно ребру $C_1D_1$. Также, поскольку призма прямая, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию, а значит, и ребру $B_1C_1$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($C_1D_1$ и $CC_1$) в плоскости $(CDD_1)$, следовательно, $B_1C_1 \perp (CDD_1)$. Значит, проекцией точки $B_1$ на плоскость $(CDD_1)$ является точка $C_1$. Следовательно, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость $(CDD_1)$ является отрезок $C_1D$.

Угол между диагональю $B_1D$ и её проекцией $C_1D$ — это угол $\angle B_1DC_1$. По условию, $\angle B_1DC_1 = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1C_1D$ (угол $\angle B_1C_1D = 90^\circ$, так как $B_1C_1 \perp (CDD_1)$). В этом треугольнике катет $B_1C_1 = a$. Катет $C_1D$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. По теореме Пифагора для $\triangle CC_1D$, $C_1D^2 = C_1C^2 + CD^2 = h^2 + a^2$, откуда $C_1D = \sqrt{h^2+a^2}$. Из $\triangle B_1C_1D$ имеем: $\tan(\angle B_1DC_1) = \frac{B_1C_1}{C_1D}$ $\tan(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{h^2+a^2}}$ Так как $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{h^2+a^2}}$ Возведём обе части в квадрат: $\frac{1}{3} = \frac{a^2}{h^2+a^2}$ $h^2 + a^2 = 3a^2$ $h^2 = 2a^2$ $h = a\sqrt{2}$

Теперь найдём угол между диагональю призмы $B_1D$ и плоскостью основания $ABCD$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Этот угол равен углу между прямой $B_1D$ и её проекцией на плоскость $(ABCD)$. Точка $D$ лежит в плоскости основания. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $(ABCD)$ является точка $B$, так как боковое ребро $B_1B$ перпендикулярно основанию. Следовательно, проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость основания является диагональ основания $BD$. Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle B_1DB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$ (угол $\angle B_1BD = 90^\circ$). Катет $B_1B = h$. Катет $BD$ — диагональ квадрата $ABCD$, его длина $BD = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Найдём тангенс угла $\alpha$: $\tan(\alpha) = \frac{B_1B}{BD} = \frac{h}{a\sqrt{2}}$ Подставим найденное ранее соотношение $h = a\sqrt{2}$: $\tan(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$ Отсюда следует, что $\alpha = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

226. В правильной четырёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а её высота равна 4 см.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — квадрат в основании. По условию задачи, сторона основания $a=2$ см, а высота призмы $H=4$ см. Таким образом, $AB=BC=CD=DA=2$ см и $AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=4$ см.

Сечение проведено через диагональ основания, например, через диагональ $BD$. Плоскость сечения параллельна диагонали призмы, которая не пересекает диагональ $BD$. Такой диагональю является, например, $A_1C$.

Для построения искомого сечения воспользуемся следующим методом. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Так как сечение проходит через $BD$, точка $O$ принадлежит плоскости сечения. Поскольку плоскость сечения параллельна $A_1C$, она должна содержать прямую, проходящую через точку $O$ и параллельную $A_1C$.

Рассмотрим треугольник $AA_1C$. Точка $O$ является серединой стороны $AC$. Пусть точка $M$ — середина бокового ребра $AA_1$. Тогда отрезок $OM$ является средней линией треугольника $AA_1C$. По свойству средней линии, $OM$ параллельна стороне $A_1C$.

Следовательно, плоскость сечения проходит через прямую $BD$ и прямую $OM$. Это означает, что точки $B$, $D$ и $M$ лежат в одной плоскости и определяют наше сечение. Таким образом, искомое сечение — это многоугольник, являющийся пересечением плоскости $(BDM)$ с призмой. В данном случае это треугольник $\triangle BDM$.

Найдите площадь сечения

Для нахождения площади сечения, которое является треугольником $\triangle BDM$, вычислим длины его сторон.

1. Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=2$ см. По теореме Пифагора для $\triangle ABD$:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Сторона $DM$. Точка $M$ — середина ребра $AA_1$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости. Следовательно, треугольник $\triangle ADM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BM$. Аналогично, ребро $AA_1$ перпендикулярно прямой $AB$. Треугольник $\triangle ABM$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Так как все стороны треугольника $\triangle BDM$ равны ($BD = DM = BM = 2\sqrt{2}$ см), то он является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим значение стороны $s=2\sqrt{2}$ см:

$S = \frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см$^2$.

227. Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро АА₁ образует равные углы со сторонами основания АС и AB. Докажите, что: a) BC ⊥ AA₁; б) CC₁B₁B — прямоугольник.

а) Докажите, что: BC ? AA?

Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании призмы. По условию, это правильный треугольник, следовательно, его стороны равны: $AB = AC$.

По условию, боковое ребро $AA_1$ образует равные углы со сторонами основания $AC$ и $AB$. Поскольку прямые $AA_1$, $AB$ и $AC$ пересекаются в одной точке $A$, то углы между этими прямыми — это углы $\angle A_1AB$ и $\angle A_1AC$. Таким образом, $\angle A_1AB = \angle A_1AC$.

Рассмотрим пространственные треугольники $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AC$. В них:

• Сторона $AB$ равна стороне $AC$ (так как $\triangle ABC$ — правильный).
• Сторона $AA_1$ — общая.
• Угол $\angle A_1AB$ равен углу $\angle A_1AC$ (по условию).

Следовательно, $\triangle A_1AB \cong \triangle A_1AC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $A_1B = A_1C$.

Теперь спроецируем вершину $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$. Пусть $H$ — это проекция точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Тогда отрезок $A_1H$ является перпендикуляром к этой плоскости, то есть $A_1H \perp (ABC)$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle A_1HB$ и $\triangle A_1HC$. Углы $\angle A_1HB$ и $\angle A_1HC$ являются прямыми, так как $A_1H$ перпендикулярен любой прямой в плоскости основания. В этих треугольниках:

• $A_1H$ — общий катет.
• $A_1B = A_1C$ — гипотенузы, как было доказано ранее.

Следовательно, $\triangle A_1HB \cong \triangle A_1HC$ по гипотенузе и катету. Из этого следует равенство катетов $HB = HC$.

Равенство $HB = HC$ означает, что точка $H$ в плоскости $(ABC)$ равноудалена от вершин $B$ и $C$. Множество всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

В правильном треугольнике $ABC$ серединный перпендикуляр к стороне $BC$ является одновременно высотой, медианой и биссектрисой, проведенной из вершины $A$. Это означает, что точка $H$ лежит на высоте треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$. Пусть $AM$ — высота к стороне $BC$. Тогда $H$ лежит на прямой $AM$.

По определению высоты, $AM \perp BC$. Так как точка $H$ лежит на $AM$, то и прямая $AH$ перпендикулярна $BC$.

Таким образом, мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(A_1AH)$:

1. $BC \perp A_1H$ (поскольку $A_1H$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $BC$ лежит в этой плоскости).
2. $BC \perp AH$ (поскольку $AH$ совпадает с высотой $AM$).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BC \perp (A_1AH)$.

Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $(A_1AH)$ (так как точки $A$, $A_1$ и $H$ определяют эту плоскость). Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что $BC \perp AA_1$.

Ответ: Доказано, что $BC \perp AA_1$.

б) Докажите, что: CC?B?B — прямоугольник

Боковая грань $CC_1B_1B$ является по определению призмы параллелограммом, так как у призмы противоположные ребра боковой грани параллельны ($CC_1 \parallel BB_1$) и равны.

Чтобы доказать, что этот параллелограмм является прямоугольником, достаточно показать, что один из его внутренних углов равен $90^\circ$. Рассмотрим угол $\angle BCC_1$.

В призме все боковые ребра параллельны друг другу. Значит, $CC_1 \parallel AA_1$.

В пункте а) было доказано, что прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AA_1$ ($BC \perp AA_1$).

Воспользуемся теоремой стереометрии: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Так как $BC \perp AA_1$ и $AA_1 \parallel CC_1$, то из этого следует, что $BC \perp CC_1$.

Это означает, что угол $\angle BCC_1$ в параллелограмме $CC_1B_1B$ является прямым.

Параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником. Следовательно, грань $CC_1B_1B$ — прямоугольник.

Ответ: Доказано, что $CC_1B_1B$ — прямоугольник.

228. Основанием наклонной призмы ABCА₁В₁С₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором АС = AB = 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А₁ является точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите площадь грани СС₁В₁В.

По условию задачи мы имеем наклонную призму $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$. Дано:

• Основание $ABC$ – равнобедренный треугольник.
• Боковые стороны $AC = AB = 13$ см.
• Основание треугольника $BC = 10$ см.
• Угол между боковым ребром (например, $AA_1$) и плоскостью основания $(ABC)$ равен $45^\circ$.
• Проекция вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$ — это точка $O$, которая является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$.

Нужно найти площадь боковой грани $CC_1B_1B$. Эта грань является параллелограммом.

1. Найдем длину медианы $AM$ треугольника $ABC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ медиану $AM$ к основанию $BC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, медиана $AM$ также является высотой и биссектрисой. Следовательно, $AM \perp BC$ и точка $M$ — середина $BC$. $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMC$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AM^2 + MC^2$ $13^2 = AM^2 + 5^2$ $169 = AM^2 + 25$ $AM^2 = 169 - 25 = 144$ $AM = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем расстояние $AO$ и высоту призмы $H$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Точка $O$ лежит на медиане $AM$. $AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

По условию, $O$ является проекцией $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Это значит, что $A_1O$ — высота призмы $H$, и $A_1O \perp (ABC)$. Отрезок $AO$ является проекцией наклонной $AA_1$ (бокового ребра) на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол $\angle A_1AO$. По условию, $\angle A_1AO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1AO$ (прямой угол $\angle A_1OA$). Так как один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник равнобедренный, и $A_1O = AO$. Высота призмы $H = A_1O = AO = 8$ см.

3. Найдем длину бокового ребра $L$.

Длина бокового ребра $L = AA_1$. В том же прямоугольном треугольнике $\triangle A_1AO$: $AA_1 = \frac{AO}{\cos(45^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$ см. Все боковые ребра призмы равны, следовательно, $CC_1 = BB_1 = AA_1 = 8\sqrt{2}$ см.

4. Найдем площадь грани $CC_1B_1B$.

Грань $CC_1B_1B$ является параллелограммом со сторонами $BC$ и $CC_1$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. В нашем случае $S = BC \cdot CC_1 \cdot \sin(\angle C_1CB)$.

Найдем угол $\angle C_1CB$. Так как $AM$ — высота в $\triangle ABC$, то $AM \perp BC$. Прямая $AO$ лежит на прямой $AM$, следовательно, $AO \perp BC$. $AO$ — это проекция наклонной $AA_1$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($AO$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($AA_1$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $AA_1 \perp BC$.

Боковые ребра призмы параллельны, поэтому $CC_1 \parallel AA_1$. Если $AA_1 \perp BC$, то и $CC_1 \perp BC$. Это означает, что угол между ребром $CC_1$ и ребром $BC$ равен $90^\circ$. Таким образом, параллелограмм $CC_1B_1B$ на самом деле является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $CC_1B_1B$ равна произведению его смежных сторон: $S_{CC_1B_1B} = BC \cdot CC_1$ $S_{CC_1B_1B} = 10 \cdot 8\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.

229. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если: а) n = 3, а = 10 см, h = 15 см; б) n = 4, а = 12 дм, h = 8 дм; в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм; г) n = 5, а = 0,4 м, h = 10 см.

Для решения задачи воспользуемся общими формулами для правильной n-угольной призмы.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) вычисляется как произведение периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$). Периметр основания, в свою очередь, равен произведению числа сторон ($n$) на длину стороны ($a$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (n \cdot a) \cdot h$

Площадь основания ($S_{осн}$), которое является правильным n-угольником со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

Дано: $n=3$, $a=10$ см, $h=15$ см. Основание призмы — правильный (равносторонний) треугольник.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Для равностороннего треугольника ($n=3$) формула площади: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{осн} = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 450 + 2 \cdot 25\sqrt{3} = (450 + 50\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 450 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (450 + 50\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

б)

Дано: $n=4$, $a=12$ дм, $h=8$ дм. Основание призмы — квадрат.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2$

2. Находим площадь основания. Для квадрата ($n=4$) формула площади: $S_{осн} = a^2$.

$S_{осн} = 12^2 = 144 \text{ дм}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2$

Ответ: $S_{бок} = 384 \text{ дм}^2$, $S_{полн} = 672 \text{ дм}^2$.

в)

Дано: $n=6$, $a=23$ см, $h=5$ дм. Основание призмы — правильный шестиугольник. Сначала приведем все размеры к одной единице измерения, например, к сантиметрам: $h = 5 \text{ дм} = 50 \text{ см}$.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Для правильного шестиугольника ($n=6$) формула площади: $S_{осн} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 23^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 529 \sqrt{3}}{2} = \frac{1587\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 6900 + 2 \cdot \frac{1587\sqrt{3}}{2} = (6900 + 1587\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 6900 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (6900 + 1587\sqrt{3}) \text{ см}^2$.

г)

Дано: $n=5$, $a=0,4$ м, $h=10$ см. Основание призмы — правильный пятиугольник. Приведем все размеры к сантиметрам: $a = 0,4 \text{ м} = 40 \text{ см}$.

1. Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = n \cdot a \cdot h = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000 \text{ см}^2$

2. Находим площадь основания. Используем общую формулу для правильного пятиугольника ($n=5$):

$S_{осн} = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})} = \frac{5 \cdot 40^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{5})} = \frac{5 \cdot 1600}{4 \tan(36^\circ)} = \frac{2000}{\tan(36^\circ)} \text{ см}^2$

3. Находим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2000 + 2 \cdot \frac{2000}{\tan(36^\circ)} = (2000 + \frac{4000}{\tan(36^\circ)}) \text{ см}^2$

Ответ: $S_{бок} = 2000 \text{ см}^2$, $S_{полн} = (2000 + \frac{4000}{\tan(36^\circ)}) \text{ см}^2$.

230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы .

Пусть в основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами $a, b, c$. По условию задачи, две стороны основания равны 5 см и 3 см, а угол между ними составляет $120^\circ$. Обозначим эти стороны как $a = 5$ см и $b = 3$ см, а угол между ними как $\gamma = 120^\circ$.

Для того чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо знать все три стороны основания и высоту призмы.

1. Нахождение третьей стороны основания

Третью сторону основания $c$ можно найти с помощью теоремы косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Подставим известные значения:
$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$
Значение косинуса $120^\circ$ равно $-0.5$.
$c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-0.5) = 34 + 15 = 49$
$c = \sqrt{49} = 7$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Площадь каждой боковой грани равна произведению соответствующей стороны основания на высоту призмы $h$. Наибольшая по площади боковая грань соответствует наибольшей стороне основания.
Сравним стороны основания: $a = 5$ см, $b = 3$ см, $c = 7$ см. Наибольшая сторона — $c = 7$ см.
Площадь наибольшей боковой грани $S_{max}$ по условию равна 35 см$^2$.
$S_{max} = c \cdot h$
$35 = 7 \cdot h$
Отсюда находим высоту призмы:
$h = \frac{35}{7} = 5$ см.

3. Нахождение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра ее основания $P$ на высоту $h$.
$S_{бок} = P \cdot h$
Сначала вычислим периметр основания:
$P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15$ см.
Теперь можем найти площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = 15 \cdot 5 = 75$ см$^2$.

Ответ: $75 \text{ см}^2$.

231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений¹ равна 130 см². Найдите площадь поверхности параллелепипеда .

Пусть дан прямой параллелепипед. Основанием является параллелограмм со сторонами $a = 8$ см и $b = 15$ см, и углом между ними $\alpha = 60^\circ$. Высоту параллелепипеда обозначим как $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Их стороны — это диагональ основания и высота параллелепипеда $h$. Площадь такого сечения равна произведению диагонали основания на высоту. У параллелограмма в основании две разные диагонали, $d_1$ и $d_2$. Следовательно, есть два диагональных сечения с площадями $S_1 = d_1 \cdot h$ и $S_2 = d_2 \cdot h$. Меньшая из площадей диагональных сечений соответствует меньшей диагонали основания.

Сначала найдем диагонали параллелограмма в основании, используя теорему косинусов. Меньшая диагональ $d_1$ лежит напротив острого угла $\alpha = 60^\circ$:
$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$
$d_1^2 = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60^\circ) = 64 + 225 - 240 \cdot \frac{1}{2} = 289 - 120 = 169$
$d_1 = \sqrt{169} = 13$ см.

Большая диагональ $d_2$ лежит напротив тупого угла $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ) = 8^2 + 15^2 - 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot (-\frac{1}{2}) = 289 + 120 = 409$
$d_2 = \sqrt{409}$ см.

Итак, меньшая диагональ основания равна $d_1 = 13$ см. По условию, площадь меньшего диагонального сечения равна 130 см$^2$. Из этой информации мы можем найти высоту параллелепипеда $h$:
$S_{min\_sec} = d_1 \cdot h$
$130 = 13 \cdot h$
$h = \frac{130}{13} = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности параллелепипеда. Она вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Площадь основания (параллелограмма) равна:
$S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot 15 \cdot \sin(60^\circ) = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда — это произведение периметра основания на высоту. Периметр основания $P_{осн}$ равен:
$P_{осн} = 2(a + b) = 2(8 + 15) = 2 \cdot 23 = 46$ см.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 46 \cdot 10 = 460$ см$^2$.

Наконец, вычисляем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 60\sqrt{3} + 460 = 120\sqrt{3} + 460$ см$^2$.

Ответ: $460 + 120\sqrt{3}$ см$^2$.

232. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из боковых граней — угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Диагональ параллелепипеда равна $d$.

1. Найдем высоту параллелепипеда $c$.
Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали $d$ на плоскость основания является диагональ основания $d_{осн}$. Вместе с высотой $c$ они образуют прямоугольный треугольник, в котором $d$ — гипотенуза, а $c$ и $d_{осн}$ — катеты. Угол между $d$ и $d_{осн}$ по условию равен $\varphi$.
Из этого прямоугольного треугольника имеем:
$\sin\varphi = \frac{c}{d}$
Отсюда высота $c$:
$c = d \sin\varphi$

2. Найдем одну из сторон основания, например $b$.
Угол между диагональю $d$ и одной из боковых граней (пусть это будет грань со сторонами $a$ и $c$) — это угол между самой диагональю и ее проекцией на плоскость этой грани. Расстояние от конца диагонали до этой грани равно стороне $b$. Таким образом, диагональ $d$, ее проекция на боковую грань и отрезок, равный стороне $b$, образуют другой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $d$ — гипотенуза, а $b$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.
Из этого прямоугольного треугольника имеем:
$\sin\alpha = \frac{b}{d}$
Отсюда сторона $b$:
$b = d \sin\alpha$

3. Найдем вторую сторону основания $a$.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Выразим $a^2$:
$a^2 = d^2 - b^2 - c^2$
Подставим найденные выражения для $b$ и $c$:
$a^2 = d^2 - (d \sin\alpha)^2 - (d \sin\varphi)^2 = d^2 - d^2\sin^2\alpha - d^2\sin^2\varphi$
$a^2 = d^2(1 - \sin^2\alpha - \sin^2\varphi)$
Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:
$a^2 = d^2(\cos^2\alpha - \sin^2\varphi)$
Отсюда сторона $a$:
$a = d\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi}$

4. Найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$
Подставим выражения для $a, b$ и $c$:
$S_{бок} = 2(d\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi} + d \sin\alpha) \cdot (d \sin\varphi)$
Вынесем $d$ из скобок:
$S_{бок} = 2d(\sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi} + \sin\alpha) \cdot d \sin\varphi$
$S_{бок} = 2d^2 \sin\varphi (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi})$

Ответ: $2d^2 \sin\varphi (\sin\alpha + \sqrt{\cos^2\alpha - \sin^2\varphi})$.