Страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

242. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадратное основание, а боковое ребро `SA` перпендикулярно плоскости основания `(ABC)`. Тогда `SA` является высотой пирамиды. Обозначим высоту `H = SA`, а сторону основания `AB = a`.

Поскольку ребро `SA` перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в частности `SA ? AB` и `SA ? AD`. Это означает, что боковые грани `SAB` и `SAD` являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине `A`.

В условии сказано, что плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Высотой является ребро `SA`, значит, речь идет о гранях `SBC` или `SDC`.

Рассмотрим угол наклона грани `SBC` к плоскости основания `(ABC)`. Этот угол является двугранным углом при ребре `BC`. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости основания `(ABC)` проведем перпендикуляр к `BC` – это ребро квадрата `AB` (`AB ? BC`). В плоскости грани `(SBC)` нужно провести перпендикуляр к `BC`. Так как `SA ? (ABC)`, то `SA ? BC`. Кроме того, `AB ? BC`. Поскольку прямая `BC` перпендикулярна двум пересекающимся прямым `SA` и `AB` плоскости `(SAB)`, то `BC` перпендикулярна всей плоскости `(SAB)`. Следовательно, `BC ? SB`. Таким образом, `?SBA` является линейным углом двугранного угла между гранью `SBC` и основанием. По условию, `?SBA = 45°`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `?SAB` ( `?SAB = 90°` ). Мы знаем, что `?SBA = 45°`. Следовательно, `?SAB` – равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны: `SA = AB`. Так как `SA` – это высота `H`, а `AB` – сторона основания `a`, получаем `H = a`.

Теперь найдем длины всех боковых рёбер, выразив их через `a`. Длина ребра `SA = a`. В прямоугольном `?SAB` по теореме Пифагора: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $SB = a\sqrt{2}$. Аналогично, в `?SAD` $SD = a\sqrt{2}$. Для нахождения ребра `SC` рассмотрим прямоугольный `?SAC` ( `SA ? AC`, так как `SA` - высота). Диагональ квадрата основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Тогда по теореме Пифагора для `?SAC`: $SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$, откуда $SC = a\sqrt{3}$.

Сравнивая длины боковых рёбер $a$, $a\sqrt{2}$ и $a\sqrt{3}$, заключаем, что наибольшее боковое ребро – это `SC`. По условию его длина равна 12 см. $SC = a\sqrt{3} = 12$. Из этого уравнения находим сторону основания `a`: $a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды `H` равна `SA`. Ранее мы установили, что `H = SA = a`. Поскольку $a = 4\sqrt{3}$ см, то и высота $H = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности `S_бок` равна сумме площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC}$.

Площади граней `SAB` и `SAD` – это площади равных прямоугольных треугольников с катетами `a` и `a`: $S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$.

Площади граней `SBC` и `SDC` – это площади равных прямоугольных треугольников (`?SBC = ?SDC = 90°`) с катетами `a` и $a\sqrt{2}$: $S_{SBC} = S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} a \cdot (a\sqrt{2}) = \frac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

Общая площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2 \cdot S_{SAB} + 2 \cdot S_{SBC} = 2 \cdot (\frac{1}{2}a^2) + 2 \cdot (\frac{a^2\sqrt{2}}{2})$ $S_{бок} = a^2 + a^2\sqrt{2} = a^2(1 + \sqrt{2})$.

Теперь подставим найденное значение `a`: $a^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ см?. $S_{бок} = 48(1 + \sqrt{2})$ см?.

Ответ: $48(1 + \sqrt{2})$ см?.

243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$.

1. Найдем площади граней $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$.

По условию, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это значит, что $AD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $AD \perp AB$ и $AD \perp AC$.

Таким образом, треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle DAC$ являются прямоугольными с катетами $AD$, $AB$ и $AD$, $AC$ соответственно.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58,5$ см$^2$.
Так как $AB = AC$, то площадь треугольника $\triangle DAC$ равна площади треугольника $\triangle DAB$:
$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58,5$ см$^2$.

2. Найдем площадь грани $\triangle DBC$.

Для нахождения площади $\triangle DBC$ используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ - основание, $h_a$ - высота, проведенная к этому основанию. Возьмем за основание сторону $BC=10$ см и найдем высоту $DM$, проведенную к этому основанию.

Сначала рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ в основании. Он равнобедренный, так как $AB=AC=13$ см. Проведем в нем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, $M$ — середина $BC$, и $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle AMB$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:
$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вернемся к пирамиде. $AD$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $DM$ — наклонная к этой плоскости, $AM$ — ее проекция на эту плоскость. Так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($AM \perp BC$), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $DM$ перпендикулярна прямой $BC$ ($DM \perp BC$).

Следовательно, $DM$ является высотой треугольника $\triangle DBC$.

Найдем длину $DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle DAM$ (угол $\angle DAM = 90^\circ$, так как $AD \perp AM$). По теореме Пифагора:
$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь можем вычислить площадь грани $\triangle DBC$:
$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15 = 75$ см$^2$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности пирамиды.

Суммируем площади всех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} = 58,5 + 58,5 + 75 = 117 + 75 = 192$ см$^2$.

Ответ: 192 см$^2$.

244. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC, у которого гипотенуза AB равна 29 см, а катет АС равен 21 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{?DAC} + S_{?DAB} + S_{?DBC}$. Найдем площадь каждой грани по отдельности.

1. Нахождение катета BC в основании

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$, в котором гипотенуза $AB = 29$ см и катет $AC = 21$ см. Предполагается, что прямой угол — это $\angle C$. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{(29-21)(29+21)} = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$ см.

2. Нахождение площади грани DAC

По условию боковое ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что ребро $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $DA \perp AC$, и треугольник $DAC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAC$.

Площадь треугольника $DAC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{?DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 10 \cdot 21 = 210$ см$^2$.

3. Нахождение площади грани DAB

Аналогично, так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AB$. Следовательно, треугольник $DAB$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle DAB$.

Площадь треугольника $DAB$ равна:

$S_{?DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см$^2$.

4. Нахождение площади грани DBC

Для нахождения площади грани $DBC$ воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $DA$ к плоскости $(ABC)$, наклонная $DC$ к этой плоскости и ее проекция $AC$.

Поскольку проекция $AC$ перпендикулярна прямой $BC$ (так как $\angle C = 90°$), то и сама наклонная $DC$ перпендикулярна прямой $BC$. Таким образом, треугольник $DBC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DCB$.

Для вычисления его площади нам нужны длины катетов $BC$ и $DC$. Длина $BC$ нам известна ($20$ см). Найдем длину гипотенузы $DC$ из прямоугольного треугольника $DAC$:

$DC^2 = DA^2 + AC^2$

$DC = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$ см.

Теперь можем найти площадь треугольника $DBC$:

$S_{?DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 10 \cdot 29 = 290$ см$^2$.

5. Вычисление площади боковой поверхности пирамиды

Сложим площади всех боковых граней, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды:

$S_{бок} = S_{?DAC} + S_{?DAB} + S_{?DBC} = 210 + 290 + 290 = 790$ см$^2$.

Ответ: $790$ см$^2$.

245. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$. Диагональ прямоугольника $AC = 8$ см.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $SAB$ и $SAD$. Если две пересекающиеся плоскости ($SAB$ и $SAD$) перпендикулярны третьей плоскости (основанию $ABCD$), то линия их пересечения ($SA$) также перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, ребро $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим $SA = h$.

Поскольку $SA \perp (ABCD)$, то треугольники $SAB$ и $SAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$.

Две другие боковые грани, $SBC$ и $SDC$, образуют с основанием углы $30^\circ$ и $45^\circ$.

Угол между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$ — это двугранный угол при ребре $BC$. Так как $SA \perp (ABCD)$, то $SA$ — перпендикуляр к плоскости основания, $AB$ — проекция наклонной $SB$ на плоскость основания. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AB \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная $SB$ также перпендикулярна $BC$ ($SB \perp BC$). Следовательно, угол $\angle SBA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$, и он равен одному из заданных углов.

Аналогично, для грани $SDC$: $SA \perp (ABCD)$, $AD$ — проекция наклонной $SD$. Так как $AD \perp DC$, то по теореме о трех перпендикулярах $SD \perp DC$. Следовательно, угол $\angle SDA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $DC$ и равен другому из заданных углов.

Пусть $\angle SBA = 30^\circ$ и $\angle SDA = 45^\circ$. Обозначим стороны прямоугольника $AB = a$ и $AD = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$: $ \text{tg}(\angle SBA) = \frac{SA}{AB} \Rightarrow \text{tg}(30^\circ) = \frac{h}{a} \Rightarrow h = a \cdot \text{tg}(30^\circ) = \frac{a}{\sqrt{3}} $

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SAD$: $ \text{tg}(\angle SDA) = \frac{SA}{AD} \Rightarrow \text{tg}(45^\circ) = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \cdot \text{tg}(45^\circ) = b $

Таким образом, мы получили, что высота пирамиды $h=b$, а сторона основания $a = h\sqrt{3}$.

В прямоугольнике $ABCD$ по теореме Пифагора для диагонали $AC$: $ a^2 + b^2 = AC^2 $ $ (h\sqrt{3})^2 + h^2 = 8^2 $ $ 3h^2 + h^2 = 64 $ $ 4h^2 = 64 $ $ h^2 = 16 $ $ h = 4 $ см.

Теперь найдем стороны основания: $ b = h = 4 $ см. $ a = h\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $ см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} $

Найдем площадь основания

$ S_{осн} = a \cdot b = 4\sqrt{3} \cdot 4 = 16\sqrt{3} $ см$^2$.

Найдем площадь боковой поверхности

$ S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SDC} $

Площадь прямоугольного треугольника $SAB$: $ S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $ см$^2$.

Площадь прямоугольного треугольника $SAD$: $ S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot h \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 $ см$^2$.

Для нахождения площади треугольника $SBC$ (который является прямоугольным, так как $SB \perp BC$) найдем апофему $SB$ из $\triangle SAB$: $ SB = \frac{SA}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8 $ см. $ S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot b \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16 $ см$^2$.

Для нахождения площади треугольника $SDC$ (который является прямоугольным, так как $SD \perp DC$) найдем апофему $SD$ из $\triangle SAD$: $ SD = \frac{SA}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} $ см. $ S_{\triangle SDC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Теперь сложим площади боковых граней: $ S_{бок} = 8\sqrt{3} + 8 + 16 + 8\sqrt{6} = 24 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Найдем полную площадь поверхности пирамиды

$ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 16\sqrt{3} + (24 + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6}) = 24 + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{6} $ см$^2$.

Выражение можно представить, вынеся общий множитель 8 за скобки: $ S_{полн} = 8(3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{6}) $ см$^2$.

Ответ: $24 + 24\sqrt{3} + 8\sqrt{6}$ см$^2$.

246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

а)

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, где $S$ — вершина, а $\triangle ABC$ — основание. Пусть $SO$ — высота пирамиды, опущенная на плоскость основания, тогда $O$ — основание высоты. По условию, $SO = 40$ см.

Высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, называется апофемой. Проведём апофемы $SK$, $SL$ и $SM$ к сторонам основания $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По определению высоты грани, $SK \perp AB$, $SL \perp BC$ и $SM \perp AC$. По условию, длины всех апофем равны: $SK = SL = SM = 41$ см.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$ и $OM$. Они являются проекциями наклонных $SK$, $SL$ и $SM$ на плоскость основания $ABC$.

Поскольку $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания ($SO \perp (ABC)$). Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная ($SK$) перпендикулярна некоторой прямой ($AB$), лежащей в плоскости, то и её проекция ($OK$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Таким образом, мы получаем: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AC$.

Это означает, что длины отрезков $OK$, $OL$ и $OM$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOK$, $\triangle SOL$ и $\triangle SOM$. Они прямоугольные, так как $SO \perp (ABC)$, а значит $SO$ перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, в том числе $OK$, $OL$ и $OM$. В этих треугольниках: 1) катет $SO$ — общий; 2) гипотенузы $SK$, $SL$, $SM$ равны по условию. Следовательно, треугольники $\triangle SOK$, $\triangle SOL$ и $\triangle SOM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OK = OL = OM$. Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника основания $ABC$, она является центром вписанной в этот треугольник окружности. Таким образом, доказано, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание.

Ответ: Доказано.

б)

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, связывающей его полупериметр и радиус вписанной окружности: $S_{осн} = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр основания, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из пункта а) мы знаем, что радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от основания высоты $O$ до сторон треугольника, то есть $r = OK$.

Найдём длину $OK$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$. Нам известны длина гипотенузы $SK = 41$ см и катета $SO = 40$ см. По теореме Пифагора: $SK^2 = SO^2 + OK^2$

Выразим $OK^2$: $OK^2 = SK^2 - SO^2 = 41^2 - 40^2$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $OK^2 = (41 - 40)(41 + 40) = 1 \cdot 81 = 81$ $OK = \sqrt{81} = 9$ см. Следовательно, радиус вписанной окружности $r = 9$ см.

По условию, периметр основания $P = 42$ см. Найдём полупериметр $p$: $p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь основания: $S_{осн} = p \cdot r = 21 \cdot 9 = 189$ см?.

Ответ: 189 см?.

247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.

а) Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $O$ — основание её высоты $SO$. Основанием пирамиды является многоугольник $A_1A_2\dots A_n$. Двугранный угол при ребре основания $A_iA_{i+1}$ — это угол между плоскостью боковой грани $SA_iA_{i+1}$ и плоскостью основания. Для его измерения построим линейный угол. Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH_i$ к ребру $A_iA_{i+1}$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $SH_i$ также будет перпендикулярна ребру $A_iA_{i+1}$. Таким образом, $SH_i$ — это высота боковой грани, а угол $\angle SHO_i$ — линейный угол соответствующего двугранного угла.

По условию задачи, все двугранные углы при основании равны. Обозначим их величину через $\phi$. Это означает, что все линейные углы также равны: $\angle SHO_1 = \angle SHO_2 = \dots = \angle SHO_n = \phi$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. Все они имеют общий катет — высоту пирамиды $SO$. Так как эти треугольники прямоугольные, имеют общий катет $SO$ и равные острые углы $\angle SHO_i = \phi$, то они равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$. Отрезки $OH_i$ представляют собой расстояния от точки $O$ до сторон основания пирамиды. Так как точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника в основании, она является центром вписанной в него окружности.

Следовательно, основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

Ответ: Доказано, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

б) Высотами боковых граней, проведёнными из вершины пирамиды, являются отрезки $SH_1, SH_2, \dots, SH_n$, которые также являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$.

Как было доказано в пункте а), все эти треугольники равны ($\triangle SOH_1 \cong \triangle SOH_2 \cong \dots \cong \triangle SOH_n$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны их гипотенузы:

$SH_1 = SH_2 = \dots = SH_n$.

Таким образом, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны между собой.

Ответ: Доказано, что высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны.

в) Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей всех её боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle SA_1A_2} + S_{\triangle SA_2A_3} + \dots + S_{\triangle SA_nA_1}$

Площадь каждой боковой грани $\triangle SA_iA_{i+1}$ вычисляется по формуле площади треугольника: $S_{\triangle SA_iA_{i+1}} = \frac{1}{2} \cdot A_iA_{i+1} \cdot SH_i$, где $A_iA_{i+1}$ — сторона основания, а $SH_i$ — высота боковой грани, проведённая к этой стороне.

Из пункта б) мы знаем, что высоты всех боковых граней равны. Обозначим их общую длину через $l$, то есть $SH_1 = SH_2 = \dots = SH_n = l$.

Тогда площадь боковой поверхности можно записать как:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot A_1A_2 \cdot l + \frac{1}{2} \cdot A_2A_3 \cdot l + \dots + \frac{1}{2} \cdot A_nA_1 \cdot l$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}l$ за скобки:

$S_{бок} = \frac{1}{2}l (A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_nA_1)$

Сумма в скобках представляет собой периметр основания пирамиды $P_{осн} = A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_nA_1$.

Подставив это в формулу, получаем:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

Это и доказывает, что площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (которую также называют апофемой).

Ответ: Доказано, что площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.

248. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Поскольку все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то площадь основания ($S_{осн}$) является ортогональной проекцией боковой поверхности ($S_{бок}$) на плоскость основания. Это позволяет использовать формулу, связывающую эти две площади и угол наклона $\alpha$:

$S_{осн} = S_{бок} \cdot \cos \alpha$

Отсюда площадь боковой поверхности можно выразить как:

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos \alpha}$

По условию, угол наклона каждой боковой грани к основанию $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдем площадь основания пирамиды.

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами $a = 12$ см, $b = 10$ см и $c = 10$ см. Площадь этого треугольника можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{64 \cdot 36} = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Теперь, используя найденную площадь основания и данный угол, вычислим площадь боковой поверхности. Значение косинуса угла $45^\circ$ равно $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S_{бок} = \frac{S_{осн}}{\cos 45^\circ} = \frac{48}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{48 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{96}{\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$S_{бок} = \frac{96 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{96\sqrt{2}}{2} = 48\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{2}$ см$^2$.

249. В пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

а) Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A_1, A_2, \dots, A_n$ — вершины многоугольника, лежащего в ее основании. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — основание высоты, принадлежащее плоскости основания.
Поскольку $SO$ является высотой, она перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ являются прямоугольными с общим прямым углом при вершине $O$.
Рассмотрим эти прямоугольные треугольники:

• Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников.
• Гипотенузы $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ равны между собой по условию задачи (все боковые рёбра равны).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) заключаем, что $\triangle SOA_1 = \triangle SOA_2 = \dots = \triangle SOA_n$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны катеты $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$. То есть $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.
Это означает, что точка $O$ (основание высоты) в плоскости основания равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром окружности, описанной около этого многоугольника.
Следовательно, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью (основанием пирамиды) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.
Для бокового ребра $SA_i$ его проекцией на плоскость основания является отрезок $OA_i$, так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания. Таким образом, угол между боковым ребром $SA_i$ и плоскостью основания — это угол $\angle SA_iO$.
Как было установлено в пункте а), все прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ равны между собой.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, равны углы, лежащие против общего катета $SO$:$\angle SA_1O = \angle SA_2O = \dots = \angle SA_nO$.
Это означает, что все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.
Ответ: Что и требовалось доказать.

250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые рёбра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, где ABC – равнобедренный треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. SO – высота пирамиды, где O – точка в плоскости основания. По условию, высота пирамиды $H = SO = 16$ см.

Боковые рёбра SA, SB и SC образуют с высотой SO равные углы в 45°. Это означает, что $\angle ASO = \angle BSO = \angle CSO = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta SOA$, $\Delta SOB$ и $\Delta SOC$. В этих треугольниках угол при вершине O прямой, так как SO – перпендикуляр к плоскости основания. Катет SO является общим для всех трёх треугольников.

Поскольку в каждом из этих прямоугольных треугольников один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол равен $90° - 45° = 45°$. Следовательно, треугольники $\Delta SOA$, $\Delta SOB$ и $\Delta SOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Из этого следует, что катеты OA, OB и OC равны катету SO: $OA = OB = OC = SO = 16$ см.

Так как точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра до вершин, то есть $R = 16$ см.

Теперь рассмотрим основание пирамиды – равнобедренный треугольник ABC. По условию, один из его углов равен 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был равен 120°, то сумма двух таких углов уже составила бы 240°, что невозможно. Следовательно, 120° – это угол при вершине, противолежащей основанию. Пусть $\angle B = 120°$, тогда боковые стороны $AB = BC$.

Углы при основании AC равны: $\angle A = \angle C = (180° - 120°) / 2 = 30°$.

Для нахождения площади основания $S_{ABC}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. В нашем случае $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$. Сначала найдём длины сторон AB и BC, используя теорему синусов для треугольника ABC: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Найдём сторону AB (которая в наших обозначениях является стороной $c$): $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R$ $AB = 2R \cdot \sin(\angle C) = 2 \cdot 16 \cdot \sin(30°) = 32 \cdot \frac{1}{2} = 16$ см.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то $BC = AB = 16$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \sin(120°)$

Используя то, что $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 64\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь основания пирамиды равна $64\sqrt{3}$ см².

251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые рёбра пирамиды равны друг другу, а её высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см

Пусть $DABC$ - данная пирамида, где $ABC$ - прямоугольный треугольник, являющийся основанием, а $D$ - вершина пирамиды. По условию, гипотенуза основания - это $BC$, а все боковые ребра равны, то есть $DA = DB = DC$. Высота пирамиды равна 12 см.

Существует свойство пирамиды: если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Пусть $H$ - это основание высоты, опущенной из вершины $D$ на плоскость $ABC$. Тогда $DH$ - высота пирамиды, и $DH = 12$ см, а точка $H$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$.

Для прямоугольного треугольника центр его описанной окружности всегда находится в середине гипотенузы. В нашем случае основание - это прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $BC$. Следовательно, точка $H$ является серединой отрезка $BC$.

Радиус $R$ описанной окружности равен расстоянию от ее центра $H$ до вершин треугольника. Таким образом, $R = HA = HB = HC$. Поскольку $H$ - середина $BC$, радиус равен половине длины гипотенузы: $R = HC = \frac{1}{2} BC$

По условию дано, что $BC = 10$ см. Найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$. В этом треугольнике:

• Катет $DH$ - это высота пирамиды, $DH = 12$ см.
• Катет $HC$ - это радиус описанной окружности, $HC = R = 5$ см.
• Гипотенуза $DC$ - это боковое ребро пирамиды, длину которого нам нужно найти.

По теореме Пифагора для треугольника $DHC$: $DC^2 = DH^2 + HC^2$

Подставим известные значения и вычислим: $DC^2 = 12^2 + 5^2$ $DC^2 = 144 + 25$ $DC^2 = 169$ $DC = \sqrt{169}$ $DC = 13$ см.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то длина каждого из них, включая искомое, составляет 13 см.

Ответ: 13 см.

252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором стороны AB и АС равны, ВС = 6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB = DC = 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть H_p — высота пирамиды DABC, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC. Обозначим основание высоты буквой O.

По условию задачи все боковые ребра пирамиды равны: $DA = DB = DC = 13$ см. Это означает, что вершина D равноудалена от всех вершин основания. Свойство таких пирамид заключается в том, что основание высоты (точка O) совпадает с центром окружности, описанной около треугольника-основания.

Таким образом, точка O — это центр описанной окружности треугольника ABC, а отрезки OA, OB, OC являются радиусами (R) этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOA (угол DOA прямой, так как DO — высота). По теореме Пифагора: $DA^2 = DO^2 + OA^2$. Отсюда высоту пирамиды DO можно выразить как $DO = \sqrt{DA^2 - OA^2}$.

Для вычисления высоты нам необходимо найти радиус R = OA описанной окружности. Радиус описанной окружности для произвольного треугольника можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.

Найдем необходимые параметры для треугольника ABC. Нам дано: основание $BC = 6$ см и высота $AH = 9$ см, проведенная к этому основанию.

1. Найдем площадь треугольника ABC (S):
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$ см?.

2. Найдем длины боковых сторон AB и AC:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка H делит сторону BC пополам: $BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AC: $AC^2 = AH^2 + HC^2 = 9^2 + 3^2 = 81 + 9 = 90$.
$AC = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$ см.
Так как треугольник равнобедренный, $AB = AC = 3\sqrt{10}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности R:
Стороны треугольника равны $a=6$, $b=3\sqrt{10}$, $c=3\sqrt{10}$. Площадь $S=27$.
Подставим эти значения в формулу радиуса: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10}}{4 \cdot 27} = \frac{6 \cdot 9 \cdot (\sqrt{10})^2}{108} = \frac{54 \cdot 10}{108} = \frac{540}{108} = 5$ см.

4. Найдем высоту пирамиды DO:
Теперь, когда мы знаем радиус $OA = R = 5$ см и длину бокового ребра $DA = 13$ см, мы можем найти высоту пирамиды из прямоугольного треугольника DOA.
$DO^2 = DA^2 - OA^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$DO = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.