Номер 249, страница 76 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

249. В пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

а) Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A_1, A_2, \dots, A_n$ — вершины многоугольника, лежащего в ее основании. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — основание высоты, принадлежащее плоскости основания.
Поскольку $SO$ является высотой, она перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ являются прямоугольными с общим прямым углом при вершине $O$.
Рассмотрим эти прямоугольные треугольники:

• Катет $SO$ является общим для всех этих треугольников.
• Гипотенузы $SA_1, SA_2, \dots, SA_n$ равны между собой по условию задачи (все боковые рёбра равны).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе) заключаем, что $\triangle SOA_1 = \triangle SOA_2 = \dots = \triangle SOA_n$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, равны катеты $OA_1, OA_2, \dots, OA_n$. То есть $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.
Это означает, что точка $O$ (основание высоты) в плоскости основания равноудалена от всех вершин основания $A_1, A_2, \dots, A_n$. По определению, точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника, является центром окружности, описанной около этого многоугольника.
Следовательно, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Угол между наклонной (боковым ребром) и плоскостью (основанием пирамиды) — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.
Для бокового ребра $SA_i$ его проекцией на плоскость основания является отрезок $OA_i$, так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания. Таким образом, угол между боковым ребром $SA_i$ и плоскостью основания — это угол $\angle SA_iO$.
Как было установлено в пункте а), все прямоугольные треугольники $\triangle SOA_1, \triangle SOA_2, \dots, \triangle SOA_n$ равны между собой.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, равны углы, лежащие против общего катета $SO$:$\angle SA_1O = \angle SA_2O = \dots = \angle SA_nO$.
Это означает, что все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.
Ответ: Что и требовалось доказать.