Номер 255, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту этой пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр $O$ основания $ABC$.

По условию задачи, сторона основания $a = AB = 8$ см. Плоский угол при вершине пирамиды равен $\varphi$, то есть угол между двумя боковыми ребрами, например, $\angle ASB = \varphi$.

Для нахождения высоты пирамиды $H = SO$ мы воспользуемся прямоугольным треугольником $SOA$. Для этого нам нужно найти длину бокового ребра $l = SA$ и радиус $R = OA$ описанной около основания окружности.

1. Найдем длину бокового ребра $l$.

Рассмотрим боковую грань $SAB$. Это равнобедренный треугольник, в котором $SA = SB = l$ и основание $AB = 8$ см. Угол при вершине $\angle ASB = \varphi$. Проведем высоту $SK$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см, и $\angle ASK = \frac{\varphi}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SKA$ имеем:

$\sin(\angle ASK) = \frac{AK}{SA} \implies \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \frac{4}{l}$

Отсюда выражаем длину бокового ребра:

$l = \frac{4}{\sin(\frac{\varphi}{2})}$

2. Найдем радиус $R$ описанной около основания окружности.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 8$ см. Центр $O$ такого треугольника является центром описанной окружности. Расстояние от центра до вершины треугольника равно радиусу $R$.

Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника со стороной $a$:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим наше значение $a=8$:

$R = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см.

3. Найдем высоту пирамиды $H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Его катеты — это высота пирамиды $SO = H$ и радиус описанной окружности $OA = R$. Гипотенуза — это боковое ребро $SA = l$.

По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$H^2 + R^2 = l^2$

Выразим $H^2$ и подставим найденные значения для $l$ и $R$:

$H^2 = l^2 - R^2 = \left(\frac{4}{\sin(\frac{\varphi}{2})}\right)^2 - \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2$

$H^2 = \frac{16}{\sin^2(\frac{\varphi}{2})} - \frac{64}{3}$

Чтобы найти высоту $H$, извлечем квадратный корень из этого выражения:

$H = \sqrt{\frac{16}{\sin^2(\frac{\varphi}{2})} - \frac{64}{3}}$

Вынесем общий множитель 16 из-под корня:

$H = 4\sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\varphi}{2})} - \frac{4}{3}}$

Это выражение можно оставить в качестве ответа, но также можно его преобразовать, приведя к общему знаменателю внутри корня:

$H = 4\sqrt{\frac{3 - 4\sin^2(\frac{\varphi}{2})}{3\sin^2(\frac{\varphi}{2})}} = \frac{4\sqrt{3 - 4\sin^2(\frac{\varphi}{2})}}{\sqrt{3}\sin(\frac{\varphi}{2})}$

Ответ: $H = 4\sqrt{\frac{1}{\sin^2(\frac{\varphi}{2})} - \frac{4}{3}}$ см.