Номер 258, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

258. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади её основания $S_{осн}$ и площади её боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Для решения задачи нам необходимо последовательно найти эти две площади.

1. Нахождение размеров и площади основания

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. В основании лежит квадрат ABCD. SO — высота пирамиды, где O — центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Боковое ребро (например, SA) образует с плоскостью основания угол, который равен углу между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA на плоскость ABCD является отрезок AO. Следовательно, угол между боковым ребром и плоскостью основания — это $\angle SAO$.

По условию, $\angle SAO = 60^\circ$, а длина бокового ребра $SA = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ ($\angle SOA = 90^\circ$). Мы можем найти длину катета AO, который является половиной диагонали квадрата ABCD:

$AO = SA \cdot \cos(\angle SAO) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Тогда вся диагональ квадрата $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Пусть сторона квадрата равна 'a'. Длина диагонали квадрата связана со стороной формулой $d = a\sqrt{2}$. Отсюда найдем сторону основания:

$a = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь основания (квадрата):

$S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$ см?.

2. Нахождение площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см.

Апофему $h_a$ (обозначим её SK, где K — середина стороны основания, например, CD) можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle SOK$. Для этого нам нужна высота пирамиды SO и отрезок OK.

Высоту SO найдем из того же треугольника $\triangle SAO$:

$SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Отрезок OK равен половине стороны квадрата:

$OK = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Теперь по теореме Пифагора в треугольнике $\triangle SOK$ найдем апофему SK:

$SK^2 = SO^2 + OK^2$

$SK = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126}$

Упростим корень: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$ см. Итак, $h_a = 3\sqrt{14}$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 12\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{14} = 36\sqrt{2 \cdot 14} = 36\sqrt{28}$

$S_{бок} = 36\sqrt{4 \cdot 7} = 36 \cdot 2\sqrt{7} = 72\sqrt{7}$ см?.

3. Нахождение площади полной поверхности пирамиды

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 72 + 72\sqrt{7} = 72(1 + \sqrt{7})$ см?.

Ответ: $72(1 + \sqrt{7})$ см?.