Номер 263, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

263. В правильной пирамиде MABCD точки K, L и N лежат соответственно на рёбрах ВС, МС и AD, причём KN || BA, KL || BM. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите вид сечения. б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости АМВ.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите вид сечения.

Построение сечения:

1. Соединим точки $K$ и $L$, лежащие в плоскости грани $MBC$. Отрезок $KL$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $MBC$.

2. Соединим точки $K$ (на ребре $BC$) и $N$ (на ребре $AD$). Отрезок $KN$ — линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания $ABCD$.

3. Секущая плоскость $(KLN)$ пересекает плоскость грани $MAD$. Поскольку точка $N$ принадлежит секущей плоскости и грани $MAD$, линия пересечения пройдет через точку $N$. Из пункта б) (доказательство ниже) следует, что плоскость $(KLN)$ параллельна плоскости $(AMB)$. Плоскости $(AMB)$ и $(MAD)$ пересекаются по прямой $AM$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $MAD$ должна быть параллельна прямой $AM$. Проведем через точку $N$ прямую, параллельную $AM$. Пусть она пересекает ребро $MD$ в точке $P$. Отрезок $NP$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $MAD$.

4. Соединим точки $L$ и $P$, лежащие в плоскости грани $MCD$. Отрезок $LP$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $MCD$.

Таким образом, искомое сечение — четырехугольник $KLPN$.

Определение вида сечения:

1. Пирамида $MABCD$ — правильная, значит, ее основание $ABCD$ — квадрат, и $AB \parallel CD$. По условию $KN \parallel BA$, следовательно $KN \parallel CD$.

2. Рассмотрим треугольник $MBC$. По условию $KL \parallel BM$. По теореме Фалеса о пропорциональных отрезках имеем: $ \frac{CK}{CB} = \frac{CL}{CM} $

3. Рассмотрим основание $ABCD$. Докажем, что из условия $KN \parallel BA$ следует равенство отношений $\frac{CK}{CB} = \frac{DN}{DA}$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Введем систему координат с началом в точке $D$, направив ось $Ox$ вдоль $DA$ и ось $Oy$ вдоль $DC$. Тогда вершины имеют координаты: $D(0,0)$, $A(a,0)$, $C(0,a)$, $B(a,a)$. Точка $N$ лежит на ребре $AD$, ее координаты $N(x_N, 0)$, где $0 \le x_N \le a$. Тогда $DN=x_N$, и $\frac{DN}{DA} = \frac{x_N}{a}$. Точка $K$ лежит на ребре $BC$. Прямая $BC$ задается уравнением $y=a$ при $0 \le x \le a$. Координаты точки $K(x_K, a)$. Тогда $CK=x_K$, и $\frac{CK}{CB} = \frac{x_K}{a}$. Вектор $KN$ имеет координаты $(x_K - x_N, a)$. Вектор $BA$ имеет координаты $(a-a, 0-a) = (0, -a)$. Поскольку $KN \parallel BA$, их векторы коллинеарны, то есть $KN = \lambda \cdot BA$ для некоторого числа $\lambda$. $(x_K - x_N, a) = \lambda (0, -a)$. Приравнивая компоненты, получаем: $a = -\lambda a \implies \lambda = -1$. $x_K - x_N = \lambda \cdot 0 = 0 \implies x_K = x_N$. Следовательно, $\frac{DN}{DA} = \frac{CK}{CB}$.

4. Рассмотрим треугольник $MAD$. По построению $NP \parallel AM$. По теореме Фалеса: $ \frac{DN}{DA} = \frac{DP}{DM} $

5. Из равенств, полученных в пунктах 2, 3 и 4, следует: $ \frac{CL}{CM} = \frac{CK}{CB} = \frac{DN}{DA} = \frac{DP}{DM} $ В частности, в треугольнике $MCD$ выполняется равенство $\frac{CL}{CM} = \frac{DP}{DM}$. По обратной теореме Фалеса отсюда следует, что $LP \parallel CD$.

6. Мы показали, что $KN \parallel CD$ и $LP \parallel CD$. Значит, $KN \parallel LP$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, $KLPN$ — трапеция.

7. Теперь определим, является ли трапеция равнобедренной. Сравним длины боковых сторон $KL$ и $NP$. Из подобия треугольников $KCL$ и $BCM$ (так как $KL \parallel BM$) следует: $ \frac{KL}{BM} = \frac{CK}{CB} \implies KL = BM \cdot \frac{CK}{CB} $ Из подобия треугольников $NDP$ и $ADM$ (так как $NP \parallel AM$) следует: $ \frac{NP}{AM} = \frac{DN}{DA} \implies NP = AM \cdot \frac{DN}{DA} $ Поскольку пирамида $MABCD$ правильная, ее боковые ребра равны: $AM = BM$. Как мы доказали в пункте 3, $\frac{CK}{CB} = \frac{DN}{DA}$. Следовательно, $KL = NP$.

Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $KLPN$.

б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости AMB.

Для доказательства параллельности двух плоскостей достаточно доказать, что две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

1. Рассмотрим плоскость сечения $(KLN)$. В этой плоскости лежат прямые $KL$ и $KN$, которые пересекаются в точке $K$.

2. Рассмотрим плоскость грани $(AMB)$. В этой плоскости лежат прямые $BM$ и $BA$, которые пересекаются в точке $B$.

3. По условию задачи, прямая $KL$ параллельна прямой $BM$ ($KL \parallel BM$).

4. По условию задачи, прямая $KN$ параллельна прямой $BA$ ($KN \parallel BA$).

Таким образом, две пересекающиеся прямые $KL$ и $KN$ в плоскости $(KLN)$ параллельны двум пересекающимся прямым $BM$ и $BA$ в плоскости $(AMB)$. По признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $(KLN)$ параллельна плоскости $(AMB)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.