Номер 266, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

266. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведённого через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD = 6$ дм и $AB = 8$ дм. Высота пирамиды $SO = 2$ дм. Поскольку все боковые рёбра равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр описанной около основания окружности, то есть в точку пересечения диагоналей прямоугольника $O$.

Построение сечения

Сечение должно проходить через диагональ основания, например, $AC$, и быть параллельным боковому ребру, например, $SB$.

Обозначим плоскость сечения как $\alpha$. По условию, прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$ ($\alpha \parallel SB$).

Прямая $SB$ лежит в плоскости боковой грани $SBD$. Точка $O$ (центр основания) лежит как на диагонали $AC$ (и, следовательно, в плоскости $\alpha$), так и на диагонали $BD$ (и, следовательно, в плоскости $SBD$).

Если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($AC$), не пересекающую вторую плоскость ($SBD$), и параллельна некоторой прямой ($SB$), лежащей во второй плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна этой прямой. В нашем случае точка $O$ общая, поэтому линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $SBD$ — это прямая, проходящая через точку $O$ параллельно ребру $SB$.

Проведём в треугольнике $SBD$ через точку $O$ (середину стороны $BD$) прямую $OK$ параллельно $SB$. По теореме о средней линии треугольника, точка $K$ будет серединой стороны $SD$.

Таким образом, плоскость сечения проходит через точки $A$, $C$ и $K$. Искомое сечение — это треугольник $AKC$.

Примечание: выбор диагонали и бокового ребра (не лежащего в одной грани с диагональю) не влияет на площадь сечения из-за симметрии пирамиды.

Вычисление площади сечения

Площадь треугольника $AKC$ можно найти по формуле: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_K$, где $h_K$ — высота, опущенная из вершины $K$ на сторону $AC$.

1. Найдём длину диагонали $AC$. Из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора:

   $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ дм.

2. Найдём высоту $h_K$. Обозначим её как $KH$, где $H$ — основание перпендикуляра из точки $K$ на прямую $AC$. Для нахождения длины $KH$ воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.

   Спроектируем точку $K$ на плоскость основания $ABCD$. Так как $K$ — середина ребра $SD$, а проекцией вершины $S$ является точка $O$, а проекцией точки $D$ является сама точка $D$, то проекцией точки $K$ на основание будет точка $K'$, являющаяся серединой отрезка $OD$.

   Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, следовательно, отрезок $KK'$ также перпендикулярен плоскости основания, и его длина равна половине высоты пирамиды (как средняя линия в треугольнике, образованном $S$, $D$ и проекцией $D$ на прямую $SO$):

   $KK' = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ дм.

   Теперь в плоскости основания проведём из точки $K'$ перпендикуляр $K'H$ к прямой $AC$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах (наклонная $KH$, её проекция $K'H$ и прямая $AC$ в плоскости), если проекция $K'H$ перпендикулярна $AC$, то и сама наклонная $KH$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, $KH$ — это и есть искомая высота $h_K$.

   Длину $KH$ найдём из прямоугольного треугольника $KK'H$:

   $KH = \sqrt{(KK')^2 + (K'H)^2}$

3. Вычислим длину $K'H$. Это расстояние от точки $K'$ до прямой $AC$. Найдём сначала расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ (обозначим его $h_D$). Площадь треугольника $ADC$ можно выразить двумя способами:

   $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ дм$^2$.

   $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_D = 5 \cdot h_D$.

   Приравняв выражения, получим: $5 \cdot h_D = 24$, откуда $h_D = 4,8$ дм.

   Так как $K'$ — середина отрезка $OD$, а точка $O$ лежит на прямой $AC$ (расстояние от $O$ до $AC$ равно 0), то расстояние от $K'$ до $AC$ равно половине расстояния от $D$ до $AC$:

   $K'H = \frac{1}{2} h_D = \frac{1}{2} \cdot 4,8 = 2,4$ дм.

4. Теперь можем найти высоту $KH$ треугольника сечения:

   $KH = \sqrt{(KK')^2 + (K'H)^2} = \sqrt{1^2 + (2,4)^2} = \sqrt{1 + 5,76} = \sqrt{6,76} = 2,6$ дм.

5. Наконец, вычисляем площадь сечения $AKC$:

   $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2,6 = 5 \cdot 2,6 = 13$ дм$^2$.

Ответ: $13 \text{ дм}^2$.