Номер 260, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Пирамида. Глава 3. Многогранники - номер 260, страница 77.

Условие.

260. В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость α. Докажите, что: а) ребро AB перпендикулярно к плоскости α; б) перпендикуляр, проведённый из вершины С к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

По условию, $DABC$ — правильная треугольная пирамида, следовательно, её основание — равносторонний треугольник $ABC$, а высота $DO$ проецируется в центр этого треугольника — точку $O$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $DC$ и высоту $DO$, значит, плоскость $\alpha$ — это плоскость $(DOC)$.

Для того чтобы доказать, что ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $\alpha$, необходимо доказать, что ребро $AB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве этих прямых возьмем $DO$ и $OC$.

1. $DO$ — высота пирамиды, поэтому $DO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости основания, то $DO \perp AB$.
2. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, а точка $O$ — его центр. Проведем из вершины $C$ медиану $CM$ к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$. Точка $O$ (центр треугольника) лежит на медиане $CM$, значит, прямая $OC$ является частью прямой $CM$. Таким образом, $OC \perp AB$.

Мы получили, что прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DO$ и $OC$ в плоскости $\alpha=(DOC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что ребро $AB$ перпендикулярно к плоскости $\alpha$.

б)

Апофема грани $ADB$ — это высота, проведенная из вершины $D$ к стороне $AB$. Обозначим её $DM$, где $M$ — середина ребра $AB$.

Плоскость грани $ADB$ — это плоскость $(ADB)$.

Пусть $CH$ — перпендикуляр, проведённый из вершины $C$ к апофеме $DM$ (т.е. $CH \perp DM$, $H \in DM$). Нам нужно доказать, что $CH \perp (ADB)$. Для этого нужно доказать, что прямая $CH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(ADB)$.

1. По построению, $CH \perp DM$. Прямая $DM$ лежит в плоскости $(ADB)$.
2. Рассмотрим плоскость $(DCM)$. Точки $D$, $C$, $M$ определяют эту плоскость. Так как $O$ лежит на $CM$, то плоскость $(DCM)$ совпадает с плоскостью $(DOC)$, то есть с плоскостью $\alpha$. В пункте а) мы доказали, что $AB \perp \alpha$, то есть $AB \perp (DCM)$.
   Прямая $CH$ лежит в плоскости $(DCM)$, так как обе точки $C$ и $H$ (точка $H$ лежит на прямой $DM$, которая, в свою очередь, лежит в плоскости $(DCM)$) принадлежат этой плоскости.
   Поскольку $AB \perp (DCM)$, то прямая $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $AB \perp CH$.

Таким образом, прямая $CH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DM$ и $AB$ в плоскости $(ADB)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $CH$ перпендикулярна плоскости $(ADB)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что перпендикуляр, проведённый из вершины $C$ к апофеме грани $ADB$, является перпендикуляром к плоскости $ADB$.