Номер 265, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Пирамида. Глава 3. Многогранники - номер 265, страница 78.

Условие.

265. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна 12 см.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC — равносторонний треугольник в основании, а S — вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 12$ см. Пусть O — центр основания, тогда SO — высота пирамиды.

Угол наклона бокового ребра, например SA, к плоскости основания ABC равен $60^\circ$. Этот угол является углом $\angle SAO$, где AO — проекция ребра SA на плоскость основания.

В основании лежит равносторонний треугольник ABC. Пусть M — середина стороны BC. Тогда AM — медиана и высота треугольника ABC. Длина AM вычисляется по формуле:$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Точка O — центр треугольника ABC и делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. Таким образом:$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.$OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO ($\angle SOA = 90^\circ$). Высота пирамиды SO равна:$SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см.

Секущая плоскость проходит через сторону основания BC и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания — это прямая BC. Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, построенным в плоскостях, перпендикулярных ребру двугранного угла.

Плоскость SAM (где M — середина BC) перпендикулярна BC. Из-за симметрии правильной пирамиды, сечение является равнобедренным треугольником, который мы обозначим BCD. Из-за симметрии вершина D этого треугольника должна лежать в плоскости SAM, а значит на ребре SA или апофеме SM. Поскольку плоскость сечения наклонена под углом $30^\circ$, а угол наклона боковой грани $\angle SMO$ больше, сечение пересечет боковое ребро SA. Итак, сечение - это треугольник BCD, где D лежит на SA. Высота этого треугольника, опущенная из вершины D на основание BC, — это отрезок DM.

Угол между плоскостью сечения (BCD) и плоскостью основания (ABC) равен углу $\angle DMA = 30^\circ$. Для нахождения площади сечения, $S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot DM$, необходимо вычислить длину высоты DM. Все необходимые элементы для этого лежат в плоскости SAM.

Рассмотрим треугольник SAM. Чтобы найти DM, нам нужно больше информации о треугольнике DMA, в котором находится DM. Найдем угол $\angle SAM$. Для этого сначала вычислим длины всех сторон треугольника SAM:

• $AM = 6\sqrt{3}$ см (уже найдено).
• В прямоугольном $\triangle SAO$: $SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ см.
• В прямоугольном $\triangle SOM$: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{12^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 12} = \sqrt{156}$ см.

Применим теорему косинусов к треугольнику SAM для нахождения $\cos(\angle SAM)$:

$SM^2 = SA^2 + AM^2 - 2 \cdot SA \cdot AM \cdot \cos(\angle SAM)$

$\cos(\angle SAM) = \frac{SA^2 + AM^2 - SM^2}{2 \cdot SA \cdot AM} = \frac{192 + (6\sqrt{3})^2 - 156}{2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}} = \frac{192 + 108 - 156}{2 \cdot 48 \cdot 3} = \frac{144}{288} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\angle SAM = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник DMA. В нем известны:

• Сторона $AM = 6\sqrt{3}$ см.
• Угол $\angle DAM = \angle SAM = 60^\circ$.
• Угол $\angle DMA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ADM = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник DMA является прямоугольным с прямым углом при вершине D.

В прямоугольном треугольнике DMA, катет DM можно найти через синус противолежащего угла:

$DM = AM \cdot \sin(\angle DAM) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения, треугольника BCD:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ см$^2$.

Для полноты решения проверим, что точка D действительно лежит на отрезке SA. Длина отрезка AD в прямоугольном треугольнике DMA равна $AD = AM \cdot \cos(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Так как $AD = 3\sqrt{3} < 8\sqrt{3} = SA$, точка D лежит на ребре SA, и наше предположение о форме сечения было верным.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.