Номер 270, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

270. Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Пусть дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее (большее) основание, а $A_1B_1C_1$ – верхнее (меньшее) основание. Оба основания являются правильными треугольниками.

По условию задачи, стороны оснований равны $a = 5$ см (для $ABC$) и $b = 3$ см (для $A_1B_1C_1$). Одно из боковых рёбер, пусть это будет $AA_1$, перпендикулярно плоскостям оснований. Это означает, что ребро $AA_1$ является высотой усечённой пирамиды, и его длина $h = AA_1 = 1$ см.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей её трёх боковых граней, которые являются трапециями: $AA_1B_1B$, $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$.

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C}$

1. Найдём площади граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$.

Так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$.

Это означает, что грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются прямоугольными трапециями, у которых $AA_1$ – это высота. Основания этих трапеций – это соответствующие стороны оснований пирамиды.

Для трапеции $AA_1B_1B$ основания равны $AB = 5$ см и $A_1B_1 = 3$ см, а высота $AA_1 = 1$ см. Её площадь:

$S_{AA_1B_1B} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} = 4$ см$^2$.

Аналогично для трапеции $AA_1C_1C$ основания равны $AC = 5$ см и $A_1C_1 = 3$ см, а высота $AA_1 = 1$ см. Её площадь:

$S_{AA_1C_1C} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = 4$ см$^2$.

2. Найдём площадь грани $BB_1C_1C$.

Эта грань является трапецией с основаниями $BC = 5$ см и $B_1C_1 = 3$ см. Чтобы найти её площадь, нужно определить длину её высоты. Сначала найдём длины боковых сторон $BB_1$ и $CC_1$.

Рассмотрим проекцию ребра $BB_1$ на плоскость нижнего основания $ABC$. Так как $AA_1$ перпендикулярно основанию, проекцией точки $A_1$ является точка $A$. Проекцией верхнего основания $A_1B_1C_1$ на плоскость нижнего является равный ему правильный треугольник $AB'C'$ со стороной 3 см, где $B'$ и $C'$ – проекции точек $B_1$ и $C_1$ соответственно. Так как основания соосны относительно высоты $AA_1$, точка $B'$ лежит на отрезке $AB$, а $C'$ – на отрезке $AC$.

Длина отрезка $BB'$ равна $AB - AB' = 5 - 3 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1B'$, в котором катет $B_1B'$ равен высоте пирамиды $h=1$ см, а катет $BB'$ равен 2 см. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BB_1$:

$BB_1 = \sqrt{(B_1B')^2 + (BB')^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Аналогично, длина отрезка $CC'$ равна $AC - AC' = 5 - 3 = 2$ см. В прямоугольном треугольнике $CC_1C'$ катеты $C_1C' = 1$ см и $CC' = 2$ см. Тогда гипотенуза $CC_1$:

$CC_1 = \sqrt{(C_1C')^2 + (CC')^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ см.

Так как $BB_1 = CC_1 = \sqrt{5}$ см, трапеция $BB_1C_1C$ является равнобедренной. Найдём её высоту $h_{BC}$. Опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на основание $BC$. Длина проекции боковой стороны $BB_1$ на большее основание $BC$ вычисляется по формуле:

$\frac{BC - B_1C_1}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ см.

Высота трапеции $h_{BC}$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – это боковая сторона $BB_1$, а другой катет – это найденная проекция. По теореме Пифагора:

$h_{BC}^2 + 1^2 = (\sqrt{5})^2$

$h_{BC}^2 + 1 = 5$

$h_{BC}^2 = 4$

$h_{BC} = 2$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции $BB_1C_1C$:

$S_{BB_1C_1C} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot h_{BC} = \frac{5 + 3}{2} \cdot 2 = 8$ см$^2$.

3. Найдём площадь боковой поверхности.

Суммируем площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C} = 4 + 4 + 8 = 16$ см$^2$.

Ответ: 16 см$^2$.