Номер 267, страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

267. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами подобных треугольников, которые образуются при сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Пусть дана n-угольная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$ с вершиной в точке $S$ и основанием, лежащим в плоскости $\alpha$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость $\alpha$.

Проведем секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости основания $\alpha$. Эта плоскость пересекает боковые ребра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ в точках $B_1, B_2, ..., B_n$ соответственно, и высоту $SO$ в точке $O_1$.

Требуется доказать, что боковые ребра и высота делятся плоскостью $\beta$ на пропорциональные части, то есть что выполняется следующее равенство: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$

Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту пирамиды $SO$ и любое из ее боковых ребер, например, $SA_i$. Эта плоскость пересекает плоскость основания $\alpha$ по прямой $A_iO$, а параллельную ей секущую плоскость $\beta$ — по прямой $B_iO_1$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересечены третьей плоскостью (в нашем случае плоскостью $SA_iO$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $B_iO_1 \parallel A_iO$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SA_iO$. В этом треугольнике отрезок $B_iO_1$ соединяет стороны $SA_i$ и $SO$ и параллелен третьей стороне $A_iO$. По теореме о подобных треугольниках (или обобщенной теореме Фалеса), треугольник $\triangle SB_iO_1$ подобен треугольнику $\triangle SA_iO$.

Из подобия треугольников ($\triangle SB_iO_1 \sim \triangle SA_iO$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{SB_i}{SA_i} = \frac{SO_1}{SO} $$

Так как рассуждение справедливо для любого бокового ребра $SA_i$ (при $i$ от 1 до $n$), мы можем заключить, что отношение $\frac{SB_i}{SA_i}$ одинаково для всех боковых ребер и равно отношению $\frac{SO_1}{SO}$. Таким образом, мы доказали, что: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$ Это и означает, что боковые ребра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью на пропорциональные части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, боковые рёбра и высота делятся на пропорциональные части. Отношение отрезка бокового ребра от вершины до секущей плоскости ко всему ребру равно отношению отрезка высоты от вершины до секущей плоскости ко всей высоте, и это соотношение является постоянным для всех боковых рёбер и высоты.