Страница 78 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

265. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна 12 см.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC — равносторонний треугольник в основании, а S — вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 12$ см. Пусть O — центр основания, тогда SO — высота пирамиды.

Угол наклона бокового ребра, например SA, к плоскости основания ABC равен $60^\circ$. Этот угол является углом $\angle SAO$, где AO — проекция ребра SA на плоскость основания.

В основании лежит равносторонний треугольник ABC. Пусть M — середина стороны BC. Тогда AM — медиана и высота треугольника ABC. Длина AM вычисляется по формуле:$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Точка O — центр треугольника ABC и делит медиану AM в отношении 2:1, считая от вершины A. Таким образом:$AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.$OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO ($\angle SOA = 90^\circ$). Высота пирамиды SO равна:$SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см.

Секущая плоскость проходит через сторону основания BC и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания — это прямая BC. Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом, построенным в плоскостях, перпендикулярных ребру двугранного угла.

Плоскость SAM (где M — середина BC) перпендикулярна BC. Из-за симметрии правильной пирамиды, сечение является равнобедренным треугольником, который мы обозначим BCD. Из-за симметрии вершина D этого треугольника должна лежать в плоскости SAM, а значит на ребре SA или апофеме SM. Поскольку плоскость сечения наклонена под углом $30^\circ$, а угол наклона боковой грани $\angle SMO$ больше, сечение пересечет боковое ребро SA. Итак, сечение - это треугольник BCD, где D лежит на SA. Высота этого треугольника, опущенная из вершины D на основание BC, — это отрезок DM.

Угол между плоскостью сечения (BCD) и плоскостью основания (ABC) равен углу $\angle DMA = 30^\circ$. Для нахождения площади сечения, $S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot DM$, необходимо вычислить длину высоты DM. Все необходимые элементы для этого лежат в плоскости SAM.

Рассмотрим треугольник SAM. Чтобы найти DM, нам нужно больше информации о треугольнике DMA, в котором находится DM. Найдем угол $\angle SAM$. Для этого сначала вычислим длины всех сторон треугольника SAM:

• $AM = 6\sqrt{3}$ см (уже найдено).
• В прямоугольном $\triangle SAO$: $SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ см.
• В прямоугольном $\triangle SOM$: $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{12^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 12} = \sqrt{156}$ см.

Применим теорему косинусов к треугольнику SAM для нахождения $\cos(\angle SAM)$:

$SM^2 = SA^2 + AM^2 - 2 \cdot SA \cdot AM \cdot \cos(\angle SAM)$

$\cos(\angle SAM) = \frac{SA^2 + AM^2 - SM^2}{2 \cdot SA \cdot AM} = \frac{192 + (6\sqrt{3})^2 - 156}{2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3}} = \frac{192 + 108 - 156}{2 \cdot 48 \cdot 3} = \frac{144}{288} = \frac{1}{2}$

Отсюда следует, что $\angle SAM = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник DMA. В нем известны:

• Сторона $AM = 6\sqrt{3}$ см.
• Угол $\angle DAM = \angle SAM = 60^\circ$.
• Угол $\angle DMA = 30^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ADM = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник DMA является прямоугольным с прямым углом при вершине D.

В прямоугольном треугольнике DMA, катет DM можно найти через синус противолежащего угла:

$DM = AM \cdot \sin(\angle DAM) = 6\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения, треугольника BCD:

$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$ см$^2$.

Для полноты решения проверим, что точка D действительно лежит на отрезке SA. Длина отрезка AD в прямоугольном треугольнике DMA равна $AD = AM \cdot \cos(60^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Так как $AD = 3\sqrt{3} < 8\sqrt{3} = SA$, точка D лежит на ребре SA, и наше предположение о форме сечения было верным.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.

266. Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые рёбра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведённого через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Пусть дана пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD = 6$ дм и $AB = 8$ дм. Высота пирамиды $SO = 2$ дм. Поскольку все боковые рёбра равны, вершина пирамиды $S$ проецируется в центр описанной около основания окружности, то есть в точку пересечения диагоналей прямоугольника $O$.

Построение сечения

Сечение должно проходить через диагональ основания, например, $AC$, и быть параллельным боковому ребру, например, $SB$.

Обозначим плоскость сечения как $\alpha$. По условию, прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$ ($\alpha \parallel SB$).

Прямая $SB$ лежит в плоскости боковой грани $SBD$. Точка $O$ (центр основания) лежит как на диагонали $AC$ (и, следовательно, в плоскости $\alpha$), так и на диагонали $BD$ (и, следовательно, в плоскости $SBD$).

Если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую ($AC$), не пересекающую вторую плоскость ($SBD$), и параллельна некоторой прямой ($SB$), лежащей во второй плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна этой прямой. В нашем случае точка $O$ общая, поэтому линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $SBD$ — это прямая, проходящая через точку $O$ параллельно ребру $SB$.

Проведём в треугольнике $SBD$ через точку $O$ (середину стороны $BD$) прямую $OK$ параллельно $SB$. По теореме о средней линии треугольника, точка $K$ будет серединой стороны $SD$.

Таким образом, плоскость сечения проходит через точки $A$, $C$ и $K$. Искомое сечение — это треугольник $AKC$.

Примечание: выбор диагонали и бокового ребра (не лежащего в одной грани с диагональю) не влияет на площадь сечения из-за симметрии пирамиды.

Вычисление площади сечения

Площадь треугольника $AKC$ можно найти по формуле: $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_K$, где $h_K$ — высота, опущенная из вершины $K$ на сторону $AC$.

1. Найдём длину диагонали $AC$. Из прямоугольного треугольника $ADC$ по теореме Пифагора:

   $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ дм.

2. Найдём высоту $h_K$. Обозначим её как $KH$, где $H$ — основание перпендикуляра из точки $K$ на прямую $AC$. Для нахождения длины $KH$ воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах.

   Спроектируем точку $K$ на плоскость основания $ABCD$. Так как $K$ — середина ребра $SD$, а проекцией вершины $S$ является точка $O$, а проекцией точки $D$ является сама точка $D$, то проекцией точки $K$ на основание будет точка $K'$, являющаяся серединой отрезка $OD$.

   Высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, следовательно, отрезок $KK'$ также перпендикулярен плоскости основания, и его длина равна половине высоты пирамиды (как средняя линия в треугольнике, образованном $S$, $D$ и проекцией $D$ на прямую $SO$):

   $KK' = \frac{1}{2} SO = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ дм.

   Теперь в плоскости основания проведём из точки $K'$ перпендикуляр $K'H$ к прямой $AC$. Согласно теореме о трёх перпендикулярах (наклонная $KH$, её проекция $K'H$ и прямая $AC$ в плоскости), если проекция $K'H$ перпендикулярна $AC$, то и сама наклонная $KH$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, $KH$ — это и есть искомая высота $h_K$.

   Длину $KH$ найдём из прямоугольного треугольника $KK'H$:

   $KH = \sqrt{(KK')^2 + (K'H)^2}$

3. Вычислим длину $K'H$. Это расстояние от точки $K'$ до прямой $AC$. Найдём сначала расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ (обозначим его $h_D$). Площадь треугольника $ADC$ можно выразить двумя способами:

   $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ дм$^2$.

   $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_D = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_D = 5 \cdot h_D$.

   Приравняв выражения, получим: $5 \cdot h_D = 24$, откуда $h_D = 4,8$ дм.

   Так как $K'$ — середина отрезка $OD$, а точка $O$ лежит на прямой $AC$ (расстояние от $O$ до $AC$ равно 0), то расстояние от $K'$ до $AC$ равно половине расстояния от $D$ до $AC$:

   $K'H = \frac{1}{2} h_D = \frac{1}{2} \cdot 4,8 = 2,4$ дм.

4. Теперь можем найти высоту $KH$ треугольника сечения:

   $KH = \sqrt{(KK')^2 + (K'H)^2} = \sqrt{1^2 + (2,4)^2} = \sqrt{1 + 5,76} = \sqrt{6,76} = 2,6$ дм.

5. Наконец, вычисляем площадь сечения $AKC$:

   $S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2,6 = 5 \cdot 2,6 = 13$ дм$^2$.

Ответ: $13 \text{ дм}^2$.

267. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами подобных треугольников, которые образуются при сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Пусть дана n-угольная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$ с вершиной в точке $S$ и основанием, лежащим в плоскости $\alpha$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — проекция вершины $S$ на плоскость $\alpha$.

Проведем секущую плоскость $\beta$, параллельную плоскости основания $\alpha$. Эта плоскость пересекает боковые ребра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ в точках $B_1, B_2, ..., B_n$ соответственно, и высоту $SO$ в точке $O_1$.

Требуется доказать, что боковые ребра и высота делятся плоскостью $\beta$ на пропорциональные части, то есть что выполняется следующее равенство: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$

Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту пирамиды $SO$ и любое из ее боковых ребер, например, $SA_i$. Эта плоскость пересекает плоскость основания $\alpha$ по прямой $A_iO$, а параллельную ей секущую плоскость $\beta$ — по прямой $B_iO_1$.

Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$) пересечены третьей плоскостью (в нашем случае плоскостью $SA_iO$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $B_iO_1 \parallel A_iO$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle SA_iO$. В этом треугольнике отрезок $B_iO_1$ соединяет стороны $SA_i$ и $SO$ и параллелен третьей стороне $A_iO$. По теореме о подобных треугольниках (или обобщенной теореме Фалеса), треугольник $\triangle SB_iO_1$ подобен треугольнику $\triangle SA_iO$.

Из подобия треугольников ($\triangle SB_iO_1 \sim \triangle SA_iO$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{SB_i}{SA_i} = \frac{SO_1}{SO} $$

Так как рассуждение справедливо для любого бокового ребра $SA_i$ (при $i$ от 1 до $n$), мы можем заключить, что отношение $\frac{SB_i}{SA_i}$ одинаково для всех боковых ребер и равно отношению $\frac{SO_1}{SO}$. Таким образом, мы доказали, что: $$ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \dots = \frac{SB_n}{SA_n} = \frac{SO_1}{SO} $$ Это и означает, что боковые ребра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью на пропорциональные части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, боковые рёбра и высота делятся на пропорциональные части. Отношение отрезка бокового ребра от вершины до секущей плоскости ко всему ребру равно отношению отрезка высоты от вершины до секущей плоскости ко всей высоте, и это соотношение является постоянным для всех боковых рёбер и высоты.

268. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усечённой пирамиды равна 4 дм, а площадь её полной поверхности равна 186 дм². Найдите высоту усечённой пирамиды.

Анализ условия и соотношения между элементами пирамиды

Пусть исходная пирамида – правильная четырехугольная. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от нее меньшую пирамиду, подобную исходной. Оставшаяся часть является усеченной пирамидой. Обозначим высоту исходной (большой) пирамиды как $H$, а высоту отсеченной (малой) пирамиды как $h_1$. Высота полученной усеченной пирамиды будет $h_{ус} = H - h_1$.

По условию, секущая плоскость делит высоту $H$ в отношении 1:2, считая от вершины. Это означает, что $h_1 : h_{ус} = 1 : 2$, откуда $h_{ус} = 2h_1$. Тогда полная высота исходной пирамиды $H = h_1 + h_{ус} = h_1 + 2h_1 = 3h_1$.

Коэффициент подобия малой отсеченной пирамиды к большой исходной пирамиде равен отношению их высот: $k = \frac{h_1}{H} = \frac{h_1}{3h_1} = \frac{1}{3}$.

Отношение соответствующих линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Пусть $a_1$ – сторона верхнего основания усеченной пирамиды (которое является основанием малой пирамиды), а $a_2$ – сторона нижнего основания усеченной пирамиды (которое является основанием большой пирамиды). Тогда $\frac{a_1}{a_2} = k = \frac{1}{3}$, или $a_2 = 3a_1$.

Расчет сторон оснований усеченной пирамиды

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_1$ (верхнего) и $S_2$ (нижнего):$S_{полн} = S_{бок} + S_1 + S_2$.

По условию $S_{полн} = 186$ дм?. Площади оснований, являющихся квадратами, равны $S_1 = a_1^2$ и $S_2 = a_2^2$.Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)l$, где $P_1$ и $P_2$ – периметры оснований, а $l$ – апофема усеченной пирамиды.Периметры оснований: $P_1 = 4a_1$, $P_2 = 4a_2$.Подставив их в формулу боковой поверхности, получим: $S_{бок} = \frac{1}{2}(4a_1 + 4a_2)l = 2(a_1 + a_2)l$.

По условию, апофема $l=4$ дм. Объединим все в одну формулу для полной поверхности:$S_{полн} = 2(a_1 + a_2)l + a_1^2 + a_2^2$.Подставим известные значения и соотношение $a_2 = 3a_1$:$186 = 2(a_1 + 3a_1) \cdot 4 + a_1^2 + (3a_1)^2$$186 = 2(4a_1) \cdot 4 + a_1^2 + 9a_1^2$$186 = 32a_1 + 10a_1^2$

Получаем квадратное уравнение:$10a_1^2 + 32a_1 - 186 = 0$Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:$5a_1^2 + 16a_1 - 93 = 0$Решим уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-93) = 256 + 1860 = 2116$.$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$.Найдем корни: $a_1 = \frac{-16 \pm 46}{2 \cdot 5} = \frac{-16 \pm 46}{10}$.Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:$a_1 = \frac{-16 + 46}{10} = \frac{30}{10} = 3$ дм.

Теперь находим сторону нижнего основания:$a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 3 = 9$ дм.

Нахождение высоты усеченной пирамиды

Для нахождения высоты усеченной пирамиды $h$ рассмотрим сечение, проходящее через ее высоту и апофему боковой грани. Это сечение является прямоугольной трапецией. Основаниями этой трапеции служат отрезки, соединяющие центр основания с серединой его стороны, то есть радиусы вписанных в основания окружностей $r_1$ и $r_2$.$r_1 = \frac{a_1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ дм.$r_2 = \frac{a_2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ дм.

Высота усеченной пирамиды $h$ и разность радиусов $(r_2 - r_1)$ являются катетами прямоугольного треугольника, а апофема $l$ – его гипотенузой.По теореме Пифагора:$l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2$.Подставляем известные значения:$4^2 = h^2 + (4.5 - 1.5)^2$$16 = h^2 + 3^2$$16 = h^2 + 9$$h^2 = 16 - 9 = 7$$h = \sqrt{7}$ дм.

Ответ: $\sqrt{7}$ дм.

269. Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная усеченная пирамида. Обозначим сторону нижнего основания как $a_1$, сторону верхнего основания как $a_2$, боковое ребро как $l$, апофему как $A$ и высоту как $h$.

По условию задачи:

• $a_1 = 4$ дм
• $a_2 = 2$ дм
• $l = 2$ дм

Нахождение апофемы

Апофема правильной усеченной пирамиды – это высота ее боковой грани. Боковая грань представляет собой равнобедренную трапецию. Основания этой трапеции равны сторонам оснований пирамиды ($a_1 = 4$ и $a_2 = 2$), а боковые стороны – боковому ребру пирамиды ($l = 2$).

Для нахождения высоты трапеции (апофемы $A$) опустим из вершины меньшего основания перпендикуляр на большее основание. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является боковое ребро $l$, одним катетом – апофема $A$, а вторым катетом – отрезок, равный полуразности оснований трапеции.

Найдем длину второго катета:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ дм.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = A^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$2^2 = A^2 + 1^2$

$4 = A^2 + 1$

$A^2 = 3$

$A = \sqrt{3}$ дм.

Ответ: апофема пирамиды равна $\sqrt{3}$ дм.

Нахождение высоты

Высоту пирамиды $h$ можно найти, рассмотрев сечение, проходящее через апофему пирамиды и ее высоту. Это сечение образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является апофема пирамиды $A$, а катетами – высота пирамиды $h$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$).

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Найдем радиусы для оснований пирамиды:

• Радиус вписанной окружности нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ дм.
• Радиус вписанной окружности верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ дм.

Найдем разность радиусов:

$r_1 - r_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ дм.

Теперь применим теорему Пифагора к этому прямоугольному треугольнику:

$A^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$

$h^2 = A^2 - (r_1 - r_2)^2$

$h^2 = (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 - \frac{1}{3} = \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3}$

$h = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ дм.

Ответ: высота пирамиды равна $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ дм.

270. Основаниями усечённой пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Пусть дана усечённая пирамида $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ – нижнее (большее) основание, а $A_1B_1C_1$ – верхнее (меньшее) основание. Оба основания являются правильными треугольниками.

По условию задачи, стороны оснований равны $a = 5$ см (для $ABC$) и $b = 3$ см (для $A_1B_1C_1$). Одно из боковых рёбер, пусть это будет $AA_1$, перпендикулярно плоскостям оснований. Это означает, что ребро $AA_1$ является высотой усечённой пирамиды, и его длина $h = AA_1 = 1$ см.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей её трёх боковых граней, которые являются трапециями: $AA_1B_1B$, $AA_1C_1C$ и $BB_1C_1C$.

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C}$

1. Найдём площади граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$.

Так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Следовательно, $AA_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp AC$.

Это означает, что грани $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ являются прямоугольными трапециями, у которых $AA_1$ – это высота. Основания этих трапеций – это соответствующие стороны оснований пирамиды.

Для трапеции $AA_1B_1B$ основания равны $AB = 5$ см и $A_1B_1 = 3$ см, а высота $AA_1 = 1$ см. Её площадь:

$S_{AA_1B_1B} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = \frac{8}{2} = 4$ см$^2$.

Аналогично для трапеции $AA_1C_1C$ основания равны $AC = 5$ см и $A_1C_1 = 3$ см, а высота $AA_1 = 1$ см. Её площадь:

$S_{AA_1C_1C} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{5 + 3}{2} \cdot 1 = 4$ см$^2$.

2. Найдём площадь грани $BB_1C_1C$.

Эта грань является трапецией с основаниями $BC = 5$ см и $B_1C_1 = 3$ см. Чтобы найти её площадь, нужно определить длину её высоты. Сначала найдём длины боковых сторон $BB_1$ и $CC_1$.

Рассмотрим проекцию ребра $BB_1$ на плоскость нижнего основания $ABC$. Так как $AA_1$ перпендикулярно основанию, проекцией точки $A_1$ является точка $A$. Проекцией верхнего основания $A_1B_1C_1$ на плоскость нижнего является равный ему правильный треугольник $AB'C'$ со стороной 3 см, где $B'$ и $C'$ – проекции точек $B_1$ и $C_1$ соответственно. Так как основания соосны относительно высоты $AA_1$, точка $B'$ лежит на отрезке $AB$, а $C'$ – на отрезке $AC$.

Длина отрезка $BB'$ равна $AB - AB' = 5 - 3 = 2$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1B'$, в котором катет $B_1B'$ равен высоте пирамиды $h=1$ см, а катет $BB'$ равен 2 см. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $BB_1$:

$BB_1 = \sqrt{(B_1B')^2 + (BB')^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Аналогично, длина отрезка $CC'$ равна $AC - AC' = 5 - 3 = 2$ см. В прямоугольном треугольнике $CC_1C'$ катеты $C_1C' = 1$ см и $CC' = 2$ см. Тогда гипотенуза $CC_1$:

$CC_1 = \sqrt{(C_1C')^2 + (CC')^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ см.

Так как $BB_1 = CC_1 = \sqrt{5}$ см, трапеция $BB_1C_1C$ является равнобедренной. Найдём её высоту $h_{BC}$. Опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на основание $BC$. Длина проекции боковой стороны $BB_1$ на большее основание $BC$ вычисляется по формуле:

$\frac{BC - B_1C_1}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ см.

Высота трапеции $h_{BC}$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза – это боковая сторона $BB_1$, а другой катет – это найденная проекция. По теореме Пифагора:

$h_{BC}^2 + 1^2 = (\sqrt{5})^2$

$h_{BC}^2 + 1 = 5$

$h_{BC}^2 = 4$

$h_{BC} = 2$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции $BB_1C_1C$:

$S_{BB_1C_1C} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot h_{BC} = \frac{5 + 3}{2} \cdot 2 = 8$ см$^2$.

3. Найдём площадь боковой поверхности.

Суммируем площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{AA_1B_1B} + S_{AA_1C_1C} + S_{BB_1C_1C} = 4 + 4 + 8 = 16$ см$^2$.

Ответ: 16 см$^2$.