Страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

281. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ из вершины D₁ проведены диагонали граней D₁A, D₁C и D₁B₁ и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник D₁AB₁C — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Докажите, что многогранник D?AB?C — правильный тетраэдр.

Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники. Это означает, что все шесть его ребер должны быть равны по длине.

Пусть длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$. Рассмотрим многогранник $D_1AB_1C$. Его ребрами являются отрезки $D_1A$, $D_1C$, $D_1B_1$, $AC$, $AB_1$ и $CB_1$. Каждое из этих ребер является диагональю одной из граней куба.

Найдем длину диагонали грани куба. Все грани куба являются квадратами со стороной $a$. По теореме Пифагора, длина диагонали $d$ квадрата равна: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

• Ребро $D_1A$ — диагональ грани $ADD_1A_1$.
• Ребро $D_1C$ — диагональ грани $CDD_1C_1$.
• Ребро $D_1B_1$ — диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Ребро $AC$ — диагональ грани $ABCD$.
• Ребро $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$.
• Ребро $CB_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$.

Поскольку все грани куба равны, их диагонали также равны. Таким образом, все шесть ребер многогранника $D_1AB_1C$ имеют одинаковую длину, равную $a\sqrt{2}$.
$D_1A = D_1C = D_1B_1 = AC = AB_1 = CB_1 = a\sqrt{2}$.

Так как все ребра многогранника равны, то его грани (треугольники $\triangle D_1AC$, $\triangle D_1CB_1$, $\triangle D_1AB_1$ и $\triangle ACB_1$) являются равными равносторонними треугольниками. Следовательно, многогранник $D_1AB_1C$ — правильный тетраэдр.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

1. Площадь поверхности куба ($S_{куба}$)
Поверхность куба состоит из 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одного такого квадрата равна $a^2$.
Полная площадь поверхности куба: $S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6a^2$.

2. Площадь поверхности тетраэдра ($S_{тетраэдра}$)
Как мы доказали, тетраэдр $D_1AB_1C$ является правильным. Его поверхность состоит из 4 одинаковых равносторонних треугольников. Длина стороны каждого такого треугольника, как мы выяснили, равна $b = a\sqrt{2}$.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $b$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим в формулу длину стороны нашего треугольника: $S_{\triangle} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Полная площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей четырех его граней: $S_{тетраэдра} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3}$.

3. Отношение площадей
Теперь найдем отношение площади поверхности куба к площади поверхности тетраэдра:
$\frac{S_{куба}}{S_{тетраэдра}} = \frac{6a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

282. Найдите угол между двумя рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).

Правильный октаэдр — это многогранник, все восемь граней которого являются равносторонними треугольниками. В каждой вершине октаэдра сходятся четыре ребра и четыре грани.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Пусть длина ребра правильного октаэдра равна $a$.

Выберем любую вершину октаэдра, обозначим ее $S$. Из этой вершины выходят четыре ребра. Обозначим концы этих ребер, не совпадающие с $S$, как $A, B, C, D$. Таким образом, мы имеем четыре ребра $SA, SB, SC, SD$, и длина каждого из них равна $a$.

Вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости и образуют квадрат, поскольку они равноудалены от вершины $S$ и от противоположной ей вершины $S'$. Стороны этого квадрата ($AB, BC, CD, DA$) также являются ребрами октаэдра и, следовательно, их длина равна $a$. Грани октаэдра, имеющие общую вершину $S$, — это равносторонние треугольники $\triangle SAB, \triangle SBC, \triangle SCD, \triangle SDA$.

Условие задачи требует найти угол между двумя ребрами с общей вершиной $S$, которые не принадлежат одной грани.

• Рассмотрим ребра $SA$ и $SB$. Они имеют общую вершину $S$ и принадлежат одной грани — треугольнику $SAB$. Так как $\triangle SAB$ равносторонний, угол между этими ребрами, $\angle ASB$, равен $60^\circ$. Эти ребра не удовлетворяют второму условию.
• Рассмотрим ребра $SA$ и $SC$. Они имеют общую вершину $S$. Ребро $SA$ принадлежит граням $\triangle SAB$ и $\triangle SDA$. Ребро $SC$ принадлежит граням $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$. У этих пар граней нет общей, поэтому ребра $SA$ и $SC$ не принадлежат одной грани. Эта пара ребер удовлетворяет условиям задачи.

Найдем угол $\alpha = \angle ASC$ между ребрами $SA$ и $SC$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle ASC$. Нам известны длины двух его сторон: $SA = a$ и $SC = a$. Найдем длину третьей стороны $AC$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$):$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$Отсюда длина диагонали $AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь, зная все три стороны треугольника $\triangle ASC$ ($SA=a, SC=a, AC=a\sqrt{2}$), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle ASC$:$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:$(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha)$$2a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(\alpha)$

Вычтем $2a^2$ из обеих частей уравнения:$0 = -2a^2 \cos(\alpha)$

Так как длина ребра $a \neq 0$, то и $2a^2 \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы:$\cos(\alpha) = 0$

Единственный угол в треугольнике, косинус которого равен нулю, это $90^\circ$. Таким образом, искомый угол $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

283. В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани ВDС; б) перпендикулярно к ребру AD.

Дан правильный тетраэдр $DABC$ с ребром $a$. Центр грани $ABC$ (правильного треугольника) — это точка $O$ пересечения его медиан (высот, биссектрис). Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Тогда $O$ лежит на $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $AO = \frac{2}{3}AM$. Длина медианы (и высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

а) Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$ и параллельна грани $BDC$. Сечение тетраэдра плоскостью, параллельной одной из его граней, является многоугольником, подобным этой грани. В данном случае сечение — это треугольник, подобный правильному треугольнику $BDC$. Следовательно, сечение также является правильным треугольником.

Это сечение можно рассматривать как результат гомотетии (преобразования подобия) с центром в вершине $A$, которая переводит грань $BDC$ в плоскость сечения. Коэффициент подобия $k$ определяет отношение сторон сечения к сторонам грани $BDC$. Площадь сечения $S_a$ будет связана с площадью грани $S_{BDC}$ соотношением $S_a = k^2 \cdot S_{BDC}$.

Для нахождения коэффициента $k$ рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $AD$ и медиану $AM$ грани $ABC$. Эта плоскость $(ADM)$ пересекает грань $BDC$ по ее медиане $DM$. Так как секущая плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $(BDC)$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ADM)$ будет прямой, параллельной $DM$. Эта прямая проходит через точку $O$, так как $O \in \alpha$ и $O \in (ADM)$, и пересекает ребро $AD$ в некоторой точке $P$.

В треугольнике $ADM$ проведена прямая $OP$, параллельная стороне $DM$ ($O$ лежит на $AM$, $P$ лежит на $AD$). Из подобия треугольников $\triangle AOP$ и $\triangle AMD$ следует отношение: $k = \frac{AP}{AD} = \frac{AO}{AM}$.

Так как $O$ — центр грани $ABC$, то $AO = \frac{2}{3}AM$. Подставляя это в отношение, получаем: $k = \frac{\frac{2}{3}AM}{AM} = \frac{2}{3}$.

Площадь грани $BDC$ (правильного треугольника со стороной $a$) равна: $S_{BDC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь можем найти площадь сечения: $S_a = k^2 \cdot S_{BDC} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{9}$.

б) Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна ребру $AD$. Определим форму сечения. Поскольку плоскость $\beta$ перпендикулярна ребру $AD$, она отсекает вершину $A$ от остальной части тетраэдра. Следовательно, плоскость пересекает три ребра, выходящие из вершины $A$: $AB$, $AC$ и $AD$. Пусть точки пересечения — $P$, $Q$ и $H$ соответственно. Сечением является треугольник $PQH$.

Найдем положение точки $H$ на ребре $AD$. Высота тетраэдра $DO_D$, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$, падает в центр $O$ этой грани. Рассмотрим треугольник $ADO$. В нем $AD=a$, $AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Высота тетраэдра $DO_D = DO = \sqrt{AD^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Поскольку $AO^2+DO^2 = \frac{a^2}{3} + \frac{2a^2}{3} = a^2 = AD^2$, треугольник $ADO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Плоскость $\beta$ перпендикулярна $AD$ и проходит через $O$. Ее след в плоскости $(ADO)$ — это прямая, проходящая через $O$ и перпендикулярная $AD$. Эта прямая является высотой треугольника $ADO$, проведенной из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $AD$. Точка $H$ — основание этой высоты. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $AO^2 = AH \cdot AD$. $AH = \frac{AO^2}{AD} = \frac{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2}{a} = \frac{\frac{a^2}{3}}{a} = \frac{a}{3}$.

Теперь найдем положение точек $P$ и $Q$. Точка $P$ лежит на пересечении плоскости $\beta$ и ребра $AB$. Рассмотрим грань $ABD$, которая является правильным треугольником. Секущая плоскость $\beta$ пересекает ее по прямой $PH$, которая перпендикулярна $AD$. В треугольнике $APH$ угол $\angle PAH = \angle DAB = 60^\circ$, а угол $\angle AHP = 90^\circ$. Следовательно: $AP = \frac{AH}{\cos(60^\circ)} = \frac{a/3}{1/2} = \frac{2a}{3}$.

Аналогично, для точки $Q$ на ребре $AC$ в грани $ACD$ получаем $AQ = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник $PQH$. Найдем длины его сторон. В треугольнике $APQ$ стороны $AP = AQ = \frac{2a}{3}$, а угол $\angle PAQ = 60^\circ$. Значит, $\triangle APQ$ — равносторонний, и $PQ=AP=\frac{2a}{3}$. Но это неверно, так как $\triangle APQ$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом $k = AP/AB = (2a/3)/a = 2/3$. Значит $PQ = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$.

Найдем длины боковых сторон $PH$ и $QH$. В треугольнике $APH$ имеем $AP = \frac{2a}{3}$, $AH=\frac{a}{3}$, $\angle PAH = 60^\circ$. По теореме косинусов: $PH^2 = AP^2 + AH^2 - 2 \cdot AP \cdot AH \cdot \cos(60^\circ) = \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 - 2 \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{9} - \frac{2a^2}{9} = \frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$. $PH = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

По симметрии $QH = PH = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Сечение $PQH$ — равнобедренный треугольник с основанием $PQ = \frac{2a}{3}$ и боковыми сторонами $PH=QH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Найдем его площадь. Проведем высоту $HK$ из вершины $H$ к основанию $PQ$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ — середина $PQ$, $PK = \frac{1}{2}PQ = \frac{a}{3}$. Высота $HK = \sqrt{PH^2 - PK^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{3a^2-a^2}{9}} = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Площадь сечения $S_b$: $S_b = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot HK = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{3} = \frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2}}{9}$.

284. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

Исходная фигура — правильный тетраэдр. Это многогранник, у которого $4$ вершины, $6$ ребер и $4$ грани. Все грани являются равносторонними треугольниками. В данной задаче длина ребра исходного тетраэдра равна $2$.

От каждой из $4$ вершин отсекают малый правильный тетраэдр с ребром $1$. Рассмотрим, что происходит при отсечении тетраэдра от одной вершины. Пусть из вершины $A$ выходят три ребра $AB$, $AC$, $AD$, каждое длиной $2$. Отсечение малого тетраэдра с ребром $1$ означает, что на каждом из этих ребер мы отмечаем точку на расстоянии $1$ от вершины $A$. Так как исходные ребра имеют длину $2$, эти точки являются серединами ребер $AB$, $AC$ и $AD$.

Эта операция повторяется для всех $4$ вершин. В результате усечения каждая из $4$ вершин исходного тетраэдра заменяется новой гранью. Эта новая грань представляет собой треугольник, вершины которого — середины трех ребер, сходящихся в исходной вершине. Так как эти ребра образуют грани в виде равносторонних треугольников (с углом $60^\circ$ при вершине), то новая грань также является равносторонним треугольником со стороной $1$. Таким образом, мы получаем $4$ новые грани в виде равносторонних треугольников со стороной $1$.

Теперь рассмотрим, что стало с исходными гранями тетраэдра. Каждая исходная грань была равносторонним треугольником со стороной $2$. Процесс отсечения малых тетраэдров от каждой из трех вершин этого треугольника "срезает" его углы. Срез проходит через середины сторон. Например, для грани $BCD$, срезы пройдут через середины ребер $BC$, $CD$ и $DB$. Центральная часть, которая останется от исходной грани, будет представлять собой равносторонний треугольник, соединяющий эти середины. По свойству средней линии треугольника, стороны этого нового треугольника будут в два раза меньше сторон исходного, то есть их длина будет равна $2 / 2 = 1$. Так как у исходного тетраэдра было $4$ грани, мы получаем еще $4$ грани, которые являются равносторонними треугольниками со стороной $1$.

В итоге получился многогранник, у которого $4 + 4 = 8$ граней. Все $8$ граней являются одинаковыми равносторонними треугольниками со стороной $1$. Такой многогранник называется октаэдром. Поскольку все его грани — одинаковые правильные многоугольники, это правильный октаэдр.

Вершинами полученного многогранника являются середины $6$ ребер исходного тетраэдра, то есть у него $6$ вершин. Количество ребер у него равно $12$ (у каждой из $8$ треугольных граней по $3$ ребра, и каждое ребро общее для двух граней: $(8 \times 3) / 2 = 12$). Все эти характеристики (8 граней, 6 вершин, 12 ребер) соответствуют правильному октаэдру.

Ответ: В результате получится правильный октаэдр с ребром $1$.

285. Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся геометрическим методом.

Рассмотрим правильный тетраэдр $ABCD$. По определению, все его грани ($ABC, ABD, ACD, BCD$) являются равными равносторонними треугольниками, а все ребра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра тетраэдра как $a$.

Центр грани правильного тетраэдра — это точка пересечения её медиан, высот и биссектрис (центроид).

Возьмем две любые смежные грани, например, грань $ABC$ и грань $ABD$. Они имеют общее ребро $AB$. Пусть $O_1$ — центр грани $ABC$, а $O_2$ — центр грани $ABD$. Наша задача — найти длину отрезка $O_1O_2$ и показать, что она не зависит от выбора граней.

Проведем медианы из вершин $C$ и $D$ к общему ребру $AB$. Пусть $M$ — середина ребра $AB$. Тогда $CM$ — медиана (а также высота и биссектриса) треугольника $ABC$, а $DM$ — медиана треугольника $ABD$.

Так как грани $ABC$ и $ABD$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, длины их медиан равны:$CM = DM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Центр грани (центроид) делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точка $O_1$ лежит на отрезке $CM$ так, что $MO_1 = \frac{1}{3}CM$. Аналогично, точка $O_2$ лежит на отрезке $DM$ так, что $MO_2 = \frac{1}{3}DM$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Точка $O_1$ лежит на его стороне $CM$, а точка $O_2$ — на стороне $DM$. Мы имеем следующие отношения:$\frac{MO_1}{MC} = \frac{1}{3}$ и $\frac{MO_2}{MD} = \frac{1}{3}$.

Поскольку $\frac{MO_1}{MC} = \frac{MO_2}{MD}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обратной теореме Фалеса), отрезок $O_1O_2$ параллелен стороне $CD$. Это также означает, что треугольник $MO_1O_2$ подобен треугольнику $MCD$ по двум сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия $k$ равен:$k = \frac{MO_1}{MC} = \frac{1}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:$\frac{O_1O_2}{CD} = k = \frac{1}{3}$.

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $O_1O_2$:$O_1O_2 = \frac{1}{3}CD$.

Так как $CD$ — это ребро правильного тетраэдра, его длина равна $a$. Таким образом, мы нашли, что $O_1O_2 = \frac{a}{3}$.

Данный результат не зависит от выбора конкретной пары граней. Любые две грани в правильном тетраэдре смежные и имеют общее ребро. Если бы мы рассмотрели, например, грани $ACD$ и $BCD$ с общим ребром $CD$, то аналогичные рассуждения привели бы к выводу, что расстояние между их центрами равно $\frac{1}{3}AB$. Поскольку в правильном тетраэдре все ребра равны ($AB = CD = a$), расстояние между центрами любых двух граней будет одинаковым и равным $\frac{a}{3}$.

Таким образом, все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина каждого из отрезков, соединяющих центры граней, равна трети длины ребра тетраэдра ($a/3$), следовательно, все эти отрезки равны между собой.

286. В правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m.

а)

Пусть дан правильный тетраэдр, у которого длина ребра равна $m$, а высота равна $h$. Высота правильного тетраэдра, опущенная из одной из его вершин, падает в центр противоположной грани (основания). Этот центр является центром описанной окружности для равностороннего треугольника, лежащего в основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $h$, ребром $m$ (в качестве гипотенузы) и радиусом $R$ описанной окружности основания (в качестве второго катета).

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $m$, вычисляется как $R = \frac{m\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника имеем:
$m^2 = h^2 + R^2$
Подставим выражение для $R$:
$m^2 = h^2 + \left(\frac{m\sqrt{3}}{3}\right)^2$
$m^2 = h^2 + \frac{m^2 \cdot 3}{9}$
$m^2 = h^2 + \frac{m^2}{3}$

Теперь выразим $m$ через $h$:
$m^2 - \frac{m^2}{3} = h^2$
$\frac{3m^2 - m^2}{3} = h^2$
$\frac{2m^2}{3} = h^2$
$m^2 = \frac{3h^2}{2}$
$m = \sqrt{\frac{3h^2}{2}} = h\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{h\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $m = \frac{h\sqrt{6}}{2}$.

б)

Пусть $n$ — это расстояние между центрами двух смежных граней правильного тетраэдра. В силу симметрии, это расстояние одинаково для любой пары граней. Найдем расстояние между центром $O_1$ грани ABC и центром $O_2$ грани DBC, где BC — их общее ребро, а $m$ — длина ребра тетраэдра.

Центр грани является точкой пересечения ее медиан. Пусть P — середина общего ребра BC. Тогда AP — медиана треугольника ABC, а DP — медиана треугольника DBC.

По свойству медиан, центр $O_1$ грани ABC лежит на медиане AP и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины A. Это означает, что $PO_1 = \frac{1}{3}AP$.
Аналогично, центр $O_2$ грани DBC лежит на медиане DP и $PO_2 = \frac{1}{3}DP$.

Рассмотрим треугольник APD. Отрезок $O_1O_2$ соединяет точки на его сторонах AP и DP. Поскольку все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники, их медианы также равны: $AP = DP$.

В треугольнике APD мы имеем следующие соотношения на его сторонах:
$\frac{PO_1}{PA} = \frac{1}{3}$ и $\frac{PO_2}{PD} = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{PO_1}{PA} = \frac{PO_2}{PD}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), треугольник $PO_1O_2$ подобен треугольнику PAD.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$:
$\frac{O_1O_2}{AD} = \frac{PO_1}{PA} = \frac{1}{3}$.

Сторона AD является ребром тетраэдра, ее длина равна $m$. Искомое расстояние $n$ равно длине отрезка $O_1O_2$.
$n = O_1O_2 = \frac{1}{3}AD = \frac{m}{3}$.

Ответ: $n = \frac{m}{3}$.

287. Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину $a$. Удобно представить октаэдр как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные общим основанием, которое является квадратом.

а) двумя его противоположными вершинами;

Пусть октаэдр состоит из двух пирамид с общим квадратным основанием $BCDE$ и вершинами-полюсами $A$ и $F$. Все ребра октаэдра равны $a$, значит, стороны квадрата $BCDE$ также равны $a$ (например, $BC=CD=a$).

Противоположные вершины — это, например, вершины $B$ и $D$, лежащие в плоскости основания, или вершины-полюсы $A$ и $F$.

Расстояние между вершинами $B$ и $D$ — это диагональ квадрата $BCDE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCD$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Отсюда находим расстояние $BD$:

$BD = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Это расстояние одинаково для любой пары противоположных вершин правильного октаэдра.

Ответ: $a\sqrt{2}$

б) центрами двух смежных граней;

Смежные грани — это грани, имеющие общее ребро. Для решения этой задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр октаэдра в начале координат $O(0,0,0)$. Как было показано в пункте (а), расстояние между противоположными вершинами (диагональ октаэдра) равно $a\sqrt{2}$. Следовательно, расстояние от центра до любой вершины равно половине этой диагонали, то есть $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Расположим вершины на осях координат: $A(\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$, $B(-\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0, 0)$, $C(0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, 0)$, $D(0, -\frac{a\sqrt{2}}{2}, 0)$, $E(0, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2})$, $F(0, 0, -\frac{a\sqrt{2}}{2})$.

Возьмем две смежные грани, например, грань с вершинами $A, C, E$ и грань с вершинами $A, D, E$. Они имеют общее ребро $AE$.

Центр грани (правильного треугольника) — это ее центроид, координаты которого равны среднему арифметическому координат вершин.

Найдем центр $M_1$ грани $ACE$:

$M_1 = \left(\frac{a\sqrt{2}/2+0+0}{3}, \frac{0+a\sqrt{2}/2+0}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{2}/2}{3}\right) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}\right)$

Найдем центр $M_2$ грани $ADE$:

$M_2 = \left(\frac{a\sqrt{2}/2+0+0}{3}, \frac{0-a\sqrt{2}/2+0}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{2}/2}{3}\right) = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}, -\frac{a\sqrt{2}}{6}, \frac{a\sqrt{2}}{6}\right)$

Теперь найдем расстояние $d$ между точками $M_1$ и $M_2$:

$d^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\left(-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{6}-\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)^2 = 0^2 + \left(\frac{2a\sqrt{2}}{6}\right)^2 + 0^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{2a^2}{9}$

$d = \sqrt{\frac{2a^2}{9}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

в) противоположными гранями.

Противоположные грани октаэдра параллельны. Для решения этой задачи используем ту же систему координат, что и в пункте (б), где вершины октаэдра расположены на осях. Обозначим $k = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ — расстояние от центра до вершины. Координаты вершин: $(\pm k, 0, 0)$, $(0, \pm k, 0)$, $(0, 0, \pm k)$.

Рассмотрим две противоположные грани: грань $F_1$ с вершинами $(k,0,0), (0,k,0), (0,0,k)$ и грань $F_2$ с вершинами $(-k,0,0), (0,-k,0), (0,0,-k)$.

Найдем уравнение плоскости, содержащей грань $F_1$. Вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости можно взять как $(1,1,1)$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $(k,0,0)$: $1(x-k) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$, что дает $x+y+z-k=0$.

Плоскость $F_2$ параллельна $F_1$ и проходит через точку $(-k,0,0)$. Ее уравнение: $1(x-(-k)) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$, что дает $x+y+z+k=0$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ находится по формуле $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

$d = \frac{|-k - k|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2k|}{\sqrt{3}} = \frac{2k}{\sqrt{3}}$

Подставим значение $k = \frac{a\sqrt{2}}{2}$:

$d = \frac{2(a\sqrt{2}/2)}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

1. Какое наименьшее число рёбер может иметь многогранник?

1

Чтобы найти наименьшее возможное число рёбер у многогранника, нужно рассмотреть его фундаментальные свойства. Многогранник — это трёхмерное тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников (граней).

Для существования многогранника должны выполняться следующие условия:

• Каждая грань должна быть многоугольником. Самый простой многоугольник — это треугольник, у которого 3 стороны (которые являются рёбрами многогранника). Значит, любая грань имеет не менее 3 рёбер.
• В каждой вершине многогранника должно сходиться не менее 3 рёбер. Это необходимо для создания объёмной фигуры в этой точке.
• Каждое ребро является общим ровно для двух граней.

Самым простым многогранником, удовлетворяющим этим условиям, является тетраэдр (треугольная пирамида). Он имеет:

• 4 треугольные грани;
• 4 вершины;
• 6 рёбер (3 ребра в основании и 3 боковых ребра).

Таким образом, существует многогранник с 6 рёбрами. Чтобы доказать, что это наименьшее возможное число, можно применить формулу Эйлера для выпуклых многогранников:

$В - Р + Г = 2$

где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней.

Из основных свойств многогранника выведем два неравенства:

1. Так как каждая грань имеет минимум 3 ребра, а каждое ребро принадлежит двум граням, то общее число рёбер, подсчитанное по граням ($3 \times Г$), не может быть больше удвоенного числа рёбер ($2 \times Р$). То есть, $3Г \le 2Р$, или $Г \le \frac{2}{3}Р$.

2. Так как в каждой вершине сходится минимум 3 ребра, а каждое ребро соединяет две вершины, то общее число рёбер, подсчитанное по вершинам ($3 \times В$), не может быть больше удвоенного числа рёбер ($2 \times Р$). То есть, $3В \le 2Р$, или $В \le \frac{2}{3}Р$.

Теперь подставим эти неравенства в формулу Эйлера:

$2 = В - Р + Г \le \frac{2}{3}Р - Р + \frac{2}{3}Р$

Упростим выражение:

$2 \le \frac{4}{3}Р - Р$

$2 \le \frac{1}{3}Р$

Отсюда следует, что:

$Р \ge 6$

Доказательство показывает, что любой выпуклый многогранник должен иметь как минимум 6 рёбер. Поскольку тетраэдр имеет ровно 6 рёбер, это и есть наименьшее возможное значение.

Ответ: 6.

2. Призма имеет n граней. Какой многоугольник лежит в её основании?

Пусть в основании призмы лежит многоугольник, у которого $k$ сторон (такой многоугольник называют $k$-угольником). Задача состоит в том, чтобы найти зависимость $k$ от общего числа граней призмы $n$.

Любая призма имеет два основания (верхнее и нижнее), которые являются равными многоугольниками. Каждое основание представляет собой одну грань. Таким образом, у призмы есть 2 грани-основания.

Кроме оснований, призма имеет боковые грани. Каждая боковая грань является параллелограммом и соединяет соответствующие стороны верхнего и нижнего оснований. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника в основании. Следовательно, у призмы $k$ боковых граней.

Общее число граней призмы, которое по условию задачи равно $n$, является суммой числа оснований и числа боковых граней. Это можно записать в виде простого уравнения: $n = 2 + k$

Чтобы определить, какой многоугольник лежит в основании, нам необходимо найти количество его сторон, то есть выразить $k$ через известное число $n$. Для этого решим полученное уравнение относительно $k$: $k = n - 2$

Таким образом, в основании призмы лежит многоугольник с $n-2$ сторонами. Такой многоугольник называется $(n-2)$-угольником. Например, если призма имеет 5 граней ($n=5$), то в её основании лежит многоугольник с $k = 5 - 2 = 3$ сторонами, то есть треугольник. Если у призмы 6 граней ($n=6$), как у куба, то в основании лежит многоугольник с $k = 6 - 2 = 4$ сторонами, то есть четырехугольник.

Ответ: В основании призмы лежит $(n-2)$-угольник.

3. Является ли призма прямой, если две её смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?

Да, такая призма является прямой. Приведем доказательство этого утверждения.

По определению, призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.

Пусть нам дана призма, у которой две смежные боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Обозначим плоскость основания как $\alpha$. Пусть плоскости, в которых лежат две смежные боковые грани, будут $\beta_1$ и $\beta_2$. По условию задачи, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания:

$\beta_1 \perp \alpha$

$\beta_2 \perp \alpha$

Поскольку боковые грани являются смежными, они пересекаются по общему боковому ребру. Обозначим это ребро как $l$. Таким образом, прямая $l$ является линией пересечения плоскостей $\beta_1$ и $\beta_2$:

$l = \beta_1 \cap \beta_2$

Воспользуемся теоремой из стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны к третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна к этой плоскости.

В нашем случае, плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ пересекаются по прямой $l$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, по указанной теореме, их линия пересечения $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

$l \perp \alpha$

Так как $l$ является боковым ребром призмы, а все боковые рёбра призмы по определению параллельны друг другу, то и все остальные боковые рёбра также перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Поскольку все боковые рёбра призмы перпендикулярны плоскости основания, то по определению эта призма является прямой.

Ответ: Да, является.

4. В какой призме боковые рёбра параллельны её высоте?

4. Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть определения призмы, её боковых рёбер и высоты.

Призма — это многогранник, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях, а боковыми гранями — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований.

Боковые рёбра призмы — это отрезки, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Все боковые рёбра в любой призме параллельны друг другу и имеют одинаковую длину.

Высота призмы — это расстояние между плоскостями её оснований. Геометрически это длина перпендикуляра, проведённого из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Вопрос состоит в том, для какого вида призм боковые рёбра параллельны высоте.

Обозначим плоскости оснований призмы как $\alpha$ и $\beta$. По определению призмы, эти плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.
Высота призмы, обозначим её $h$, по определению является перпендикуляром к этим плоскостям, то есть $h \perp \alpha$ и $h \perp \beta$.
Боковое ребро, обозначим его $l$, является отрезком, соединяющим точку в плоскости $\alpha$ с соответствующей точкой в плоскости $\beta$.

Условие задачи гласит, что боковые рёбра параллельны высоте: $l \parallel h$.
Из курса стереометрии известно, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Поскольку высота $h$ перпендикулярна плоскостям оснований ($h \perp \alpha$ и $h \perp \beta$), а боковое ребро $l$ параллельно высоте ($l \parallel h$), то из этого следует, что боковое ребро $l$ также перпендикулярно плоскостям оснований: $l \perp \alpha$ и $l \perp \beta$.

Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны её основаниям, по определению называется прямой призмой. В прямой призме боковые грани являются прямоугольниками, и длина бокового ребра совпадает с высотой призмы.

Для сравнения, в наклонной призме боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Следовательно, они не могут быть параллельны высоте, а образуют с плоскостью основания угол, отличный от $90^\circ$.

Таким образом, условие, при котором боковые рёбра призмы параллельны её высоте, выполняется только для прямых призм.

Ответ: В прямой призме.

5. Является ли призма правильной, если все её рёбра равны друг другу?

Нет, не всегда. Чтобы призма была правильной, она должна одновременно удовлетворять двум условиям:
1. Её основаниями должны быть правильные многоугольники (то есть многоугольники, у которых все стороны и все углы равны).
2. Призма должна быть прямой (то есть её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а боковые грани — прямоугольники).

Рассмотрим призму, у которой все рёбра равны некоторой длине $a$. Проверим, выполняются ли для неё указанные выше условия.

1. Условие правильного многоугольника в основании.
Если все рёбра призмы равны $a$, то стороны её многоугольника в основании также равны $a$. Это означает, что в основании лежит равносторонний многоугольник. Однако не всякий равносторонний многоугольник является правильным. Например, если в основании четырёхугольной призмы лежит ромб, у него все стороны равны, но если его углы не прямые, он не является правильным многоугольником (правильным четырёхугольником является квадрат). Таким образом, призма, в основании которой лежит ромб (не квадрат), не является правильной, даже если все её рёбра равны.

2. Условие прямой призмы.
У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. В призме, у которой все рёбра равны $a$, боковые грани — это четырёхугольники, у которых все стороны равны $a$, то есть они являются ромбами. Ромб будет прямоугольником только в том случае, если он является квадратом. Если боковые грани — ромбы, но не квадраты, то призма не является прямой (она наклонная). Наклонная призма по определению не может быть правильной.

Примеры:
• Куб — это призма, у которой все рёбра равны. Его основания — квадраты (правильные многоугольники), а боковые грани — тоже квадраты (прямоугольники), поэтому куб является прямой призмой. Следовательно, куб — это пример правильной призмы с равными рёбрами.
• Ромбоэдр, все рёбра которого равны. Это призма, в основании которой лежит ромб. Если этот ромб не является квадратом, то призма не является правильной. Кроме того, если её боковые грани — тоже ромбы, а не квадраты, то она является наклонной, что также нарушает определение правильной призмы.

Таким образом, для того чтобы призма с равными рёбрами была правильной, необходимо, чтобы её основания были правильными многоугольниками, а боковые грани — квадратами. Это условие выполняется не всегда.

Ответ: Нет, призма, у которой все рёбра равны друг другу, не обязательно является правильной. Это утверждение верно только в частных случаях (например, для куба).

6. Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?

Да, может.

Для того чтобы понять, при каких условиях это возможно, давайте разберем определения высоты призмы и высоты боковой грани.

Высота призмы — это расстояние между плоскостями ее оснований. Геометрически это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одного основания на плоскость другого основания. Обозначим ее $H$.

Высота боковой грани — это высота параллелограмма, который является этой гранью. Эта высота проводится к стороне параллелограмма, которая лежит на основании призмы. Обозначим ее $h_{грани}$.

Теперь рассмотрим условие, при котором эти две высоты могут совпадать. Пусть у нас есть наклонная призма $ABCA_1B_1C_1...$ с основанием $ABC...$ в плоскости $\alpha$ и основанием $A_1B_1C_1...$ в плоскости $\beta$.

Возьмем боковую грань, например, $ABB_1A_1$. Высота этой грани, проведенная из вершины $A_1$ к основанию $AB$, — это перпендикуляр $A_1K$, опущенный из точки $A_1$ на прямую, содержащую отрезок $AB$. То есть $h_{грани} = A_1K$ и $A_1K \perp AB$.

Высота призмы, проведенная из той же точки $A_1$, — это перпендикуляр $A_1P$, опущенный из точки $A_1$ на плоскость основания $\alpha$. То есть $H = A_1P$ и $A_1P \perp \alpha$.

Чтобы высота грани $A_1K$ являлась высотой призмы $A_1P$, необходимо, чтобы отрезок $A_1K$ был перпендикулярен всей плоскости основания $\alpha$. То есть точки $K$ и $P$ должны совпасть.Если $A_1K \perp \alpha$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1K$ должна быть перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, проходящей через точку $K$. Мы уже знаем, что $A_1K \perp AB$.

Условие, при котором высота боковой грани совпадает с высотой призмы, заключается в том, что плоскость этой боковой грани должна быть перпендикулярна плоскости основания призмы.Покажем, что это возможно для наклонной призмы. Призма называется наклонной, если ее боковые ребра (например, $A_1A$) не перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим случай, когда плоскость грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Тогда высота призмы $H$, опущенная из точки $A_1$, будет лежать в плоскости $ABB_1A_1$ и будет перпендикулярна линии пересечения плоскостей, то есть прямой $AB$. Но это в точности совпадает с определением высоты $h_{грани}$ параллелограмма $ABB_1A_1$. При этом боковое ребро $A_1A$ не обязано быть перпендикулярным основанию. Если ребро $A_1A$ не совпадает с высотой $A_1K$, то призма будет наклонной.

Таким образом, высота боковой грани наклонной призмы может являться и высотой самой призмы.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, когда плоскость боковой грани перпендикулярна плоскости основания призмы.

7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

а) Да, такая призма существует. Это может быть наклонная призма.

Рассмотрим свойства такой призмы. Пусть $L$ — боковое ребро призмы, а $E$ — ребро основания. Условие перпендикулярности ребра $L$ ребру $E$ ($L \perp E$) связано со свойством проекции ребра $L$ на плоскость основания. Пусть $P$ — проекция бокового ребра $L$ на плоскость основания. Согласно теореме о трех перпендикулярах, наклонная $L$ перпендикулярна прямой $E$ в плоскости основания тогда и только тогда, когда проекция наклонной $P$ перпендикулярна прямой $E$ ($P \perp E$).

Все боковые ребра призмы параллельны друг другу, следовательно, их проекции на плоскость основания также будут параллельны друг другу. Таким образом, задача сводится к следующему геометрическому вопросу: можно ли в плоскости многоугольника (основания призмы) провести прямую (направление проекций боковых ребер) так, чтобы она была перпендикулярна ровно одной стороне этого многоугольника?

Да, можно. Возьмем в качестве основания призмы треугольник $ABC$, у которого нет прямых углов. В плоскости этого треугольника проведем прямую $l$, перпендикулярную стороне $AB$. Так как у треугольника нет других сторон, перпендикулярных этой прямой (поскольку нет прямых углов и параллельных сторон), прямая $l$ будет перпендикулярна только стороне $AB$.

Теперь построим наклонную призму $ABCA_1B_1C_1$ так, чтобы проекция ее бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания была параллельна прямой $l$. Тогда по теореме о трех перпендикулярах боковое ребро $AA_1$ будет перпендикулярно ребру основания $AB$, но не будет перпендикулярно ребрам $BC$ и $AC$.

Ответ: Да, существует.

б) Да, такая призма существует. Это также может быть наклонная призма.

Боковая грань призмы перпендикулярна плоскости ее основания тогда и только тогда, когда проекция бокового ребра на плоскость основания параллельна тому ребру основания, на котором построена эта боковая грань.

Докажем это. Пусть основание призмы лежит в плоскости $Oxy$, а ребро основания $A_1A_2$ — на оси $Ox$. Вектор этого ребра $\vec{e} = (a, 0, 0)$. Пусть боковое ребро задается вектором $\vec{l} = (u, v, w)$, где $w \neq 0$ для наклонной призмы. Проекцией бокового ребра на плоскость основания будет вектор $\vec{p} = (u, v, 0)$. Боковая грань является плоскостью, проходящей через векторы $\vec{e}$ и $\vec{l}$. Нормаль к этой плоскости можно найти как их векторное произведение: $\vec{n}_{грань} = \vec{e} \times \vec{l} = (0, -aw, av)$. Нормаль к плоскости основания — $\vec{n}_{основание} = (0, 0, 1)$. Плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_{грань} \cdot \vec{n}_{основание} = 0 \cdot 0 + (-aw) \cdot 0 + av \cdot 1 = av = 0$. Поскольку $a \neq 0$, должно выполняться $v=0$. Условие $v=0$ означает, что вектор проекции $\vec{p}=(u,0,0)$ параллелен вектору ребра основания $\vec{e}=(a,0,0)$.

Следовательно, задача сводится к вопросу: существует ли многоугольник, для которого можно найти такое направление в его плоскости, что оно будет параллельно ровно одной его стороне?

Да, существует. Любой многоугольник, у которого нет параллельных сторон, подходит. Например, треугольник общего вида (разносторонний) или несимметричный четырехугольник.

Рассмотрим наклонную призму, в основании которой лежит треугольник $ABC$. Направим ее боковые ребра так, чтобы их проекция на плоскость основания была параллельна стороне $AB$. Тогда боковая грань, построенная на ребре $AB$, будет перпендикулярна плоскости основания. Две другие боковые грани (на ребрах $BC$ и $AC$) не будут перпендикулярны основанию, так как стороны $BC$ и $AC$ не параллельны проекции бокового ребра.

Ответ: Да, существует.

8. Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?

Пусть дана правильная треугольная призма. Это означает, что ее основаниями являются равносторонние треугольники, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Обозначим сторону основания призмы как $a$, а ее высоту как $h$.

Секущая плоскость проходит через средние линии оснований. Пусть в нижнем основании $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Аналогично, $M_1N_1$ — средняя линия в верхнем основании $A_1B_1C_1$. Секущая плоскость $MNN_1M_1$ делит исходную призму на две новые призмы.

Первая часть — это меньшая правильная треугольная призма $MNCM_1N_1C_1$. Вторая часть — призма, основанием которой является трапеция $ABNM$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы. Найдем площади боковых поверхностей для каждой из двух полученных призм.

Площадь боковой поверхности первой призмы (меньшей, треугольной)

Основанием этой призмы является треугольник $MNC$. По свойству средней линии треугольника, $MN = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. Поскольку $M$ и $N$ — середины сторон, то $MC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$ и $NC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$. Таким образом, основание $MNC$ — равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$.

Периметр ее основания равен $P_1 = MC + NC + MN = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$.

Площадь ее боковой поверхности составляет $S_1 = P_1 \cdot h = \frac{3a}{2} h$.

Площадь боковой поверхности второй призмы (трапециевидной)

Основанием этой призмы является равнобокая трапеция $ABNM$. Длины ее сторон: основания $AB=a$ и $MN=\frac{a}{2}$, боковые стороны $AM = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$ и $BN = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.

Периметр ее основания равен $P_2 = AB + BN + NM + MA = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{5a}{2}$.

Площадь ее боковой поверхности составляет $S_2 = P_2 \cdot h = \frac{5a}{2} h$.

Отношение площадей

Теперь найдем отношение площадей боковых поверхностей полученных призм: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{3a}{2}h}{\frac{5a}{2}h} = \frac{3}{5} $$ Следовательно, искомое отношение равно $3:5$.

Ответ: Площади боковых поверхностей этих призм относятся как $3:5$.

9. Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

Для ответа на этот вопрос, вспомним определение правильной пирамиды. Правильная пирамида — это пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого многоугольника (центр вписанной и описанной окружностей).

Теперь рассмотрим условие задачи: боковые грани пирамиды являются правильными треугольниками. Пусть сторона этих равносторонних треугольников равна $a$.

1. Из этого условия следует, что все боковые ребра пирамиды равны между собой, так как они являются сторонами равных правильных треугольников, сходящихся в одной вершине. Длина каждого бокового ребра равна $a$.

2. Стороны основания пирамиды являются другими сторонами этих же правильных треугольников. Следовательно, все стороны многоугольника в основании также равны между собой и равны $a$.

3. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($SA_1 = SA_2 = \dots = SA_n = a$, где $S$ - вершина, а $A_1, A_2, \dots, A_n$ - вершины основания), то вершина $S$ равноудалена от всех вершин основания. Это означает, что существует окружность, описанная около многоугольника в основании, и проекция вершины $S$ на плоскость основания совпадает с центром этой окружности.

4. Многоугольник, у которого все стороны равны (пункт 2) и который можно вписать в окружность (пункт 3), является правильным многоугольником.

Таким образом, мы получили, что в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, и ее вершина проецируется в его центр. Это в точности соответствует определению правильной пирамиды.

Важно отметить, что такая пирамида может существовать не для любого числа сторон основания. Сумма плоских углов при вершине пространственного многогранного угла должна быть строго меньше $360^\circ$. Угол при вершине у каждого равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Если в основании лежит n-угольник, то сумма углов при вершине пирамиды равна $n \times 60^\circ$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$n \times 60^\circ < 360^\circ$

$n < 6$

Это означает, что такие пирамиды могут иметь в основании только правильный треугольник ($n=3$), квадрат ($n=4$) или правильный пятиугольник ($n=5$). Для $n \ge 6$ такую пирамиду построить невозможно, так как боковые грани "сложатся" в плоскость.

Ответ: Да, если такая пирамида существует (т.е. число сторон основания меньше 6), она всегда будет правильной. Это следует из того, что равенство боковых граней (правильных треугольников) влечет за собой равенство всех боковых ребер и всех сторон основания, что, в свою очередь, доказывает, что основание является правильным многоугольником, а вершина проецируется в его центр.

10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?

Боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости ее основания тогда и только тогда, когда высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания) лежит в плоскости этой грани. Это, в свою очередь, означает, что основание высоты пирамиды — точка-проекция вершины на плоскость основания — лежит на прямой, содержащей сторону основания, которая является ребром данной боковой грани.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $A_1A_2...A_n$ — многоугольник в основании, а $H$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. Грань $SA_iA_{i+1}$ перпендикулярна плоскости основания тогда и только тогда, когда точка $H$ лежит на прямой, содержащей отрезок $A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим, сколько таких граней может быть у пирамиды.

0 граней

Пирамида может не иметь ни одной грани, перпендикулярной основанию. Для этого достаточно, чтобы основание высоты $H$ не лежало ни на одной из прямых, содержащих стороны многоугольника в основании. Классическим примером является правильная пирамида, у которой вершина проецируется в центр основания (который не лежит на его сторонах).

1 грань

Пирамида может иметь ровно одну грань, перпендикулярную основанию. Для этого нужно, чтобы основание высоты $H$ лежало на прямой, содержащей одну из сторон основания, но не совпадало с вершиной многоугольника. Например, если в основании лежит треугольник $ABC$, и точка $H$ лежит на стороне $AB$ (но не в точках $A$ или $B$), то только грань $SAB$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

2 грани

Пирамида может иметь ровно две грани, перпендикулярные основанию. Это возможно в двух случаях:

1. Основание высоты $H$ совпадает с одной из вершин многоугольника в основании. Пусть основание высоты совпадает с вершиной $A_2$. Тогда точка $H=A_2$ лежит одновременно на двух прямых, содержащих смежные стороны $A_1A_2$ и $A_2A_3$. В этом случае боковые грани $SA_1A_2$ и $SA_2A_3$ будут перпендикулярны плоскости основания. Высотой пирамиды при этом является боковое ребро $SA_2$.
2. Основание высоты $H$ является точкой пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания. Например, если в основании лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны и содержащие их прямые пересекаются в некоторой точке $H$. Если вершина пирамиды $S$ проецируется в эту точку $H$, то грани $SAB$ и $SCD$ будут перпендикулярны плоскости основания.

3 и более граней

Для того чтобы у пирамиды было три или более граней, перпендикулярных основанию, необходимо, чтобы три или более прямых, содержащих стороны основания, пересекались в одной точке (в точке $H$).

Для стандартных (выпуклых и невырожденных) многоугольников это невозможно. Две смежные стороны пересекаются в вершине, и никакая другая сторона через эту вершину не проходит. Две несмежные стороны могут пересекаться вне многоугольника, но третья сторона, как правило, не пройдет через эту же точку пересечения (за исключением вырожденных случаев, когда три или более вершины лежат на одной прямой).

Таким образом, в рамках стандартного определения пирамиды (с простым, невырожденным многоугольником в основании) она не может иметь более двух граней, перпендикулярных основанию.

Следовательно, возможные значения для числа граней, перпендикулярных к плоскости основания, это 0, 1 и 2.

Ответ: Пирамида может иметь 0, 1 или 2 грани, перпендикулярные к плоскости основания.

11. Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Да, такая четырёхугольная пирамида существует. Докажем это.

Пусть дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — основание, лежащее в плоскости $\alpha$, а $S$ — вершина. Предположим, что две её противоположные боковые грани, например, грань $SAB$ и грань $SDC$, перпендикулярны плоскости основания $\alpha$.

Плоскость грани $SAB$ обозначим как $\beta_1$, а плоскость грани $SDC$ — как $\beta_2$. По условию, $\beta_1 \perp \alpha$ и $\beta_2 \perp \alpha$.

Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

Плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ не параллельны, так как они содержат грани пирамиды, сходящиеся в вершине $S$. Следовательно, они пересекаются. Линией их пересечения является прямая, проходящая через вершину $S$. Обозначим эту прямую $l$.

Согласно приведённой теореме, поскольку $\beta_1 \perp \alpha$ и $\beta_2 \perp \alpha$, их линия пересечения $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это означает, что высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, лежит на прямой $l$.

Теперь рассмотрим три плоскости: $\beta_1 = (SAB)$, $\beta_2 = (SDC)$ и плоскость основания $\alpha$. Линиями их попарного пересечения являются:

• прямая $l = \beta_1 \cap \beta_2$
• прямая $AB = \beta_1 \cap \alpha$
• прямая $DC = \beta_2 \cap \alpha$

По теореме о трёх плоскостях, эти три прямые ($l$, $AB$ и $DC$) должны либо пересекаться в одной точке, либо быть параллельными друг другу.

Случай, когда прямые параллельны ($l \parallel AB \parallel DC$), невозможен. Прямые $AB$ и $DC$ лежат в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $l$ была им параллельна, она была бы параллельна и всей плоскости $\alpha$. Но мы установили, что $l \perp \alpha$. Прямая не может быть одновременно перпендикулярна и параллельна плоскости. Это противоречие.

Следовательно, остаётся единственный возможный вариант: прямые $l$, $AB$ и $DC$ пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку $H$.

То, что прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $H$, означает, что основанием пирамиды должен быть четырёхугольник, у которого прямые, содержащие противоположные стороны, пересекаются. То есть, основание не может быть параллелограммом или трапецией (если речь о паре параллельных сторон).

Точка $H$ также является основанием высоты пирамиды, так как высота лежит на прямой $l$, проходящей через $S$ и $H$.

Таким образом, для существования такой пирамиды необходимо, чтобы прямые, содержащие противоположные стороны основания (соответствующие перпендикулярным граням), пересекались. Вершина пирамиды должна лежать на перпендикуляре к плоскости основания, восстановленном из точки пересечения этих прямых.

Приведём пример построения такой пирамиды:

1. В качестве основания возьмём четырёхугольник $ABCD$ такой, что прямые $AB$ и $DC$ пересекаются в некоторой точке $H$.
2. Из точки $H$ проведём прямую $l$, перпендикулярную плоскости основания $ABCD$.
3. На прямой $l$ выберем любую точку $S$ (отличную от $H$) и примем её за вершину пирамиды.

В построенной пирамиде $SABCD$ прямая $SH$ является высотой.

• Плоскость $(SAB)$ проходит через точки $S$ и $H$ (так как $H$ лежит на прямой $AB$), значит, она содержит высоту $SH$. Так как плоскость $(SAB)$ содержит перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $(SAB) \perp \alpha$.
• Аналогично, плоскость $(SDC)$ проходит через точки $S$ и $H$ (так как $H$ лежит на прямой $DC$), значит, она содержит высоту $SH$. Следовательно, $(SDC) \perp \alpha$.

Мы построили пирамиду, удовлетворяющую условию.

Ответ: Да, существует. Такая пирамида возможна, если её основанием является четырёхугольник, у которого прямые, содержащие пару противоположных сторон, пересекаются. Вершина пирамиды при этом должна проецироваться в точку пересечения этих прямых.