Номер 10, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

10. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?

Боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости ее основания тогда и только тогда, когда высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания) лежит в плоскости этой грани. Это, в свою очередь, означает, что основание высоты пирамиды — точка-проекция вершины на плоскость основания — лежит на прямой, содержащей сторону основания, которая является ребром данной боковой грани.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $A_1A_2...A_n$ — многоугольник в основании, а $H$ — проекция вершины $S$ на плоскость основания. Грань $SA_iA_{i+1}$ перпендикулярна плоскости основания тогда и только тогда, когда точка $H$ лежит на прямой, содержащей отрезок $A_iA_{i+1}$.

Рассмотрим, сколько таких граней может быть у пирамиды.

0 граней

Пирамида может не иметь ни одной грани, перпендикулярной основанию. Для этого достаточно, чтобы основание высоты $H$ не лежало ни на одной из прямых, содержащих стороны многоугольника в основании. Классическим примером является правильная пирамида, у которой вершина проецируется в центр основания (который не лежит на его сторонах).

1 грань

Пирамида может иметь ровно одну грань, перпендикулярную основанию. Для этого нужно, чтобы основание высоты $H$ лежало на прямой, содержащей одну из сторон основания, но не совпадало с вершиной многоугольника. Например, если в основании лежит треугольник $ABC$, и точка $H$ лежит на стороне $AB$ (но не в точках $A$ или $B$), то только грань $SAB$ будет перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

2 грани

Пирамида может иметь ровно две грани, перпендикулярные основанию. Это возможно в двух случаях:

1. Основание высоты $H$ совпадает с одной из вершин многоугольника в основании. Пусть основание высоты совпадает с вершиной $A_2$. Тогда точка $H=A_2$ лежит одновременно на двух прямых, содержащих смежные стороны $A_1A_2$ и $A_2A_3$. В этом случае боковые грани $SA_1A_2$ и $SA_2A_3$ будут перпендикулярны плоскости основания. Высотой пирамиды при этом является боковое ребро $SA_2$.
2. Основание высоты $H$ является точкой пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания. Например, если в основании лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, то боковые стороны $AB$ и $CD$ не параллельны и содержащие их прямые пересекаются в некоторой точке $H$. Если вершина пирамиды $S$ проецируется в эту точку $H$, то грани $SAB$ и $SCD$ будут перпендикулярны плоскости основания.

3 и более граней

Для того чтобы у пирамиды было три или более граней, перпендикулярных основанию, необходимо, чтобы три или более прямых, содержащих стороны основания, пересекались в одной точке (в точке $H$).

Для стандартных (выпуклых и невырожденных) многоугольников это невозможно. Две смежные стороны пересекаются в вершине, и никакая другая сторона через эту вершину не проходит. Две несмежные стороны могут пересекаться вне многоугольника, но третья сторона, как правило, не пройдет через эту же точку пересечения (за исключением вырожденных случаев, когда три или более вершины лежат на одной прямой).

Таким образом, в рамках стандартного определения пирамиды (с простым, невырожденным многоугольником в основании) она не может иметь более двух граней, перпендикулярных основанию.

Следовательно, возможные значения для числа граней, перпендикулярных к плоскости основания, это 0, 1 и 2.

Ответ: Пирамида может иметь 0, 1 или 2 грани, перпендикулярные к плоскости основания.