Номер 13, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 3. Глава 3. Многогранники - номер 13, страница 86.

Условие.

13. Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?

Решение 2.

Решение 6.

Для того чтобы определить, можно ли изготовить каркасную модель правильной четырёхугольной пирамиды, необходимо вычислить общую длину всех её рёбер и сравнить с имеющейся длиной проволоки, а также проверить геометрическую возможность существования такой пирамиды.

Каркас правильной четырёхугольной пирамиды состоит из рёбер основания и боковых рёбер.

1. Основание пирамиды. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. По условию, сторона основания $a = 10$ см. Каркас основания состоит из четырёх таких сторон. Длина проволоки, необходимая для основания:
$L_{осн} = 4 \times a = 4 \times 10 = 40$ см.

2. Боковые рёбра. Общая длина проволоки составляет $L_{общ} = 66$ см. Вычтем из неё длину, необходимую для основания, чтобы найти, сколько проволоки останется на боковые рёбра:
$L_{бок} = L_{общ} - L_{осн} = 66 - 40 = 26$ см.

У правильной пирамиды 4 одинаковых боковых ребра. Обозначим длину одного бокового ребра буквой $b$. Тогда длина каждого бокового ребра будет:
$b = L_{бок} / 4 = 26 / 4 = 6.5$ см.

3. Проверка возможности построения. Теперь нужно проверить, можно ли геометрически построить пирамиду с такими параметрами: сторона основания $a=10$ см и боковое ребро $b=6.5$ см.

Для существования пирамиды её высота должна быть действительным положительным числом. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $b$ и половина диагонали основания $d/2$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, $H^2 + (d/2)^2 = b^2$. Отсюда следует, что боковое ребро $b$ должно быть строго больше половины диагонали основания $d/2$.

Найдём диагональ квадрата в основании:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.

Половина диагонали:
$\frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Сравним длину бокового ребра $b$ с половиной диагонали $\frac{d}{2}$.
$b = 6.5$ см.
$\frac{d}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Чтобы сравнить $6.5$ и $5\sqrt{2}$, возведём оба числа в квадрат:
$b^2 = 6.5^2 = 42.25$
$(\frac{d}{2})^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$

Так как $42.25 < 50$, то и $6.5 < 5\sqrt{2}$.

Полученное неравенство $b < d/2$ означает, что боковые рёбра слишком коротки, чтобы сойтись в одной вершине над основанием. Геометрически такая фигура не является пирамидой.

Ответ: нет, изготовить такую модель нельзя.