Номер 290, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Правильные многогранники, дополнительные задачи. Глава 3. Многогранники - номер 290, страница 86.

Условие.

290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен θ. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед. Обозначим стороны его основания через $a$ и $b$, а высоту через $c$.

По условию задачи, диагональ основания равна $l$. Пусть это будет диагональ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. По теореме Пифагора для основания: $a^2 + b^2 = l^2$.

Угол между этой диагональю $l$ и одной из сторон основания, пусть это будет сторона $a$, равен $\phi$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами $a$, $b$ и диагональю $l$. В этом треугольнике:

$a = l \cos\phi$

$b = l \sin\phi$

Далее, угол между этой же стороной $a$ и диагональю параллелепипеда равен $\theta$. Пусть диагональ параллелепипеда, выходящая из той же вершины, что и сторона $a$, равна $D$.

Для нахождения высоты $c$ воспользуемся связью между диагональю параллелепипеда и его измерениями. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

$D^2 = a^2 + b^2 + c^2 = l^2 + c^2$

Рассмотрим пространственный треугольник, образованный стороной $a$, диагональю параллелепипеда $D$ и диагональю боковой грани, перпендикулярной стороне $a$. Этот треугольник является прямоугольным. Более строго это можно показать с помощью координатного метода. Расположим вершину, из которой выходят $a$, $D$ и $l$, в начале координат $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $a$. Тогда конец этого ребра будет в точке $B(a,0,0)$. Конец диагонали $D$ будет в точке $C_1(a,b,c)$.

Вектор стороны $a$ - это $\vec{AB} = (a, 0, 0)$.

Вектор диагонали $D$ - это $\vec{AC_1} = (a, b, c)$.

Угол $\theta$ между этими векторами определяется их скалярным произведением:

$\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC_1}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC_1}|} = \frac{a \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c}{\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{a^2}{a \cdot D} = \frac{a}{D}$

Отсюда $D = \frac{a}{\cos\theta}$.

Теперь у нас есть два выражения для $D^2$:

$D^2 = l^2 + c^2$

$D^2 = \left(\frac{a}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{a^2}{\cos^2\theta}$

Приравняем их, чтобы найти $c$:

$l^2 + c^2 = \frac{a^2}{\cos^2\theta}$

$c^2 = \frac{a^2}{\cos^2\theta} - l^2$

Подставим в это выражение $a = l \cos\phi$:

$c^2 = \frac{(l \cos\phi)^2}{\cos^2\theta} - l^2 = l^2 \left( \frac{\cos^2\phi}{\cos^2\theta} - 1 \right) = l^2 \frac{\cos^2\phi - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}$

Отсюда находим высоту $c$:

$c = \sqrt{l^2 \frac{\cos^2\phi - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{l \sqrt{\cos^2\phi - \cos^2\theta}}{\cos\theta}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot c$, где $P_{осн}$ - периметр основания.

$P_{осн} = 2(a+b) = 2(l \cos\phi + l \sin\phi) = 2l(\cos\phi + \sin\phi)$

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2l(\cos\phi + \sin\phi) \cdot \frac{l \sqrt{\cos^2\phi - \cos^2\theta}}{\cos\theta}$

$S_{бок} = \frac{2l^2(\cos\phi + \sin\phi)\sqrt{\cos^2\phi - \cos^2\theta}}{\cos\theta}$

Используя тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, выражение под корнем можно записать как $\sin^2\theta - \sin^2\phi$. Оба варианта ответа эквивалентны.

Ответ: $S_{бок} = \frac{2l^2(\cos\phi + \sin\phi)\sqrt{\cos^2\phi - \cos^2\theta}}{\cos\theta}$