Номер 292, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

292. В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы.

Решение

Рассмотрим правильную четырехугольную призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a=6$ см. Боковое ребро (и высота призмы) $h = AA_1 = 8$ см.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AB$, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты:
$A(0, 0, 0)$
$B(0, 6, 0)$
$C(6, 6, 0)$
$D(6, 0, 0)$
$A_1(0, 0, 8)$
$B_1(0, 6, 8)$
$C_1(6, 6, 8)$
$D_1(6, 0, 8)$

Нам нужно найти расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы. Выберем в качестве стороны основания ребро $CD$. Диагонали призмы: $AC_1, BD_1, CA_1, DB_1$. Диагонали $AC_1$ и $CA_1$ пересекают ребро $CD$ в точке $C$. Диагонали $BD_1$ и $DB_1$ не пересекают ребро $CD$, они с ним скрещиваются. Выберем для нашего расчета прямую, содержащую ребро $CD$, и прямую, содержащую диагональ $BD_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти по формуле:
$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$
где $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ — направляющие векторы прямых, а $\vec{M_1M_2}$ — вектор, соединяющий какие-либо точки на этих прямых. Числитель формулы представляет собой модуль смешанного произведения трех векторов.

1. Для прямой $CD$ возьмем точку $D(6, 0, 0)$ и направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{DC} = (6-6, 6-0, 0-0) = (0, 6, 0)$.

2. Для прямой $BD_1$ возьмем точку $B(0, 6, 0)$ и направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{BD_1} = (6-0, 0-6, 8-0) = (6, -6, 8)$.

3. В качестве вектора, соединяющего точки на прямых, возьмем вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{DB} = (0-6, 6-0, 0-0) = (-6, 6, 0)$.

Теперь вычислим смешанное произведение векторов $\vec{DB}$, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$. Оно равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов:
$(\vec{DB}, \vec{s_1}, \vec{s_2}) = \begin{vmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 6 & -6 & 8 \end{vmatrix}$
Раскроем определитель по третьему столбцу:
$0 \cdot C_{13} - 0 \cdot C_{23} + 8 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 6 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = 8 \cdot ((-6) \cdot 6 - 6 \cdot 0) = 8 \cdot (-36) = -288$.
Модуль смешанного произведения равен $|-288| = 288$.

Далее вычислим векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:
$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ 6 & -6 & 8 \end{vmatrix} = \vec{i}(6 \cdot 8 - 0 \cdot (-6)) - \vec{j}(0 \cdot 8 - 0 \cdot 6) + \vec{k}(0 \cdot (-6) - 6 \cdot 6) = 48\vec{i} - 0\vec{j} - 36\vec{k} = (48, 0, -36)$.

Найдем модуль этого вектора (длину):
$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{48^2 + 0^2 + (-36)^2} = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{288}{60} = \frac{144}{30} = \frac{72}{15} = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ: 4,8 см.