Номер 299, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна m, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а высота пирамиды проецируется в центр этого треугольника.

Пусть сторона основания $a = m$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим $a = m$:

$S_{осн} = \frac{m^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

По условию задачи, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{m^2\sqrt{3}}{4} = \frac{m^2\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).

Апофема – это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Площадь боковой поверхности также равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$

Периметр основания $P = 3a = 3m$.

Приравняем два выражения для $S_{бок}$:

$\frac{1}{2} (3m) \cdot h_a = \frac{m^2\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на 2 и разделим на $m$ (так как $m > 0$):

$3h_a = m\sqrt{3}$

$h_a = \frac{m\sqrt{3}}{3}$

4. Найдем высоту пирамиды ($H$).

Высота пирамиды $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2 \implies H = \sqrt{h_a^2 - r^2}$

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим $a = m$:

$r = \frac{m}{2\sqrt{3}}$

Теперь подставим найденные значения $h_a$ и $r$ в формулу для высоты $H$:

$H^2 = \left(\frac{m\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{m}{2\sqrt{3}}\right)^2$

$H^2 = \frac{m^2 \cdot 3}{9} - \frac{m^2}{4 \cdot 3}$

$H^2 = \frac{m^2}{3} - \frac{m^2}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$H^2 = \frac{4m^2}{12} - \frac{m^2}{12} = \frac{3m^2}{12} = \frac{m^2}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$H = \sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{m}{2}$

Ответ: $\frac{m}{2}$