Номер 301, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины В до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $DABC$, где $D$ — вершина, а $ABC$ — равносторонний треугольник в основании. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины $D$. Обозначим апофему как $DM$, где $M$ — середина стороны основания, например, $BC$.

1. Построение и анализ линейного угла.

Двугранный угол при боковом ребре, например $DA$, — это угол между плоскостями боковых граней $(DAB)$ и $(DAC)$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости $(DAB)$ проведем перпендикуляр $BH$ к ребру $DA$. Расстояние от вершины $B$ до ребра $DA$ по условию равно 16 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $BH = 16$ см.

Так как пирамида правильная, ее боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Поэтому высота из вершины $C$ на ребро $DA$ в треугольнике $DAC$ также будет опущена в точку $H$, и ее длина будет такой же: $CH = BH = 16$ см.

Угол $BHC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $DA$. По условию, $\angle BHC = 120^\circ$.

2. Нахождение стороны основания.

Рассмотрим треугольник $BHC$. Он равнобедренный, так как $BH = CH = 16$ см. Найдем длину стороны $BC$ по теореме косинусов:$BC^2 = BH^2 + CH^2 - 2 \cdot BH \cdot CH \cdot \cos(\angle BHC)$$BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ)$Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:$BC^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2}) = 512 + 256 = 768$$BC = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}$ см.

Сторона основания пирамиды $a = BC = 16\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение длины бокового ребра.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник $DAB$. Стороны этого треугольника: $AB = a = 16\sqrt{3}$ см, а боковые ребра $DA = DB = l$. Высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $DA$, равна $BH = 16$ см. Так как $BH \perp DA$, треугольник $ABH$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $BH$ и $AH$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:$AH^2 + BH^2 = AB^2$$AH^2 + 16^2 = (16\sqrt{3})^2$$AH^2 + 256 = 768$$AH^2 = 768 - 256 = 512$$AH = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем боковое ребро $l=DA$. Обозначим угол при основании боковой грани $\alpha = \angle DAB$. В прямоугольном треугольнике $ABH$:$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{16\sqrt{2}}{16\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

В равнобедренном треугольнике $DAB$ проведем высоту из вершины $D$ на основание $AB$. Она разделит угол $\angle ADB$ и сторону $AB$ пополам. Другой способ — применить теорему косинусов для стороны $DB$ в $\triangle DAB$:$DB^2 = DA^2 + AB^2 - 2 \cdot DA \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$$l^2 = l^2 + a^2 - 2 \cdot l \cdot a \cdot \cos(\alpha)$$0 = a^2 - 2la \cos(\alpha) \implies a = 2l \cos(\alpha)$Подставим известные значения $a$ и $\cos(\alpha)$:$16\sqrt{3} = 2 \cdot l \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$8\sqrt{3} = l \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$l = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$ см.

Итак, длина бокового ребра $l = 12\sqrt{2}$ см.

4. Нахождение апофемы пирамиды.

Апофема $DM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $DBC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMC$, где $DC = l = 12\sqrt{2}$ см — гипотенуза, а катет $MC$ равен половине стороны основания $BC$:$MC = \frac{BC}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:$DM^2 + MC^2 = DC^2$$DM^2 = DC^2 - MC^2 = (12\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3})^2$$DM^2 = (144 \cdot 2) - (64 \cdot 3) = 288 - 192 = 96$$DM = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см.