Номер 302, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, а $S$ — её вершина. Стороны параллелограмма равны $a = 3$ см и $b = 7$ см, одна из диагоналей, например $d_1 = AC$, равна 6 см. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и равна $H = 4$ см.

Боковые рёбра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$) являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках ($ \triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD $), где катетами служат высота пирамиды $SO$ и половины диагоналей основания ($OA, OB, OC, OD$). Следовательно, для нахождения длин боковых рёбер нам нужно сначала найти длины обеих диагоналей параллелограмма.

Нахождение длин диагоналей и их половин

В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Длина одной диагонали дана: $AC = 6$ см.
Тогда половины этой диагонали равны: $OA = OC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Для нахождения второй диагонали ($BD$) используем свойство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$
Подставим известные значения:
$6^2 + BD^2 = 2(3^2 + 7^2)$
$36 + BD^2 = 2(9 + 49)$
$36 + BD^2 = 2(58)$
$36 + BD^2 = 116$
$BD^2 = 116 - 36 = 80$
$BD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Тогда половины второй диагонали равны: $OB = OD = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$ см.

Нахождение длин боковых рёбер

Теперь, зная длины половин диагоналей и высоту, мы можем найти длины боковых рёбер по теореме Пифагора.

1. Найдём длины рёбер $SA$ и $SC$. Так как $OA=OC$, то и рёбра $SA$ и $SC$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$SA = \sqrt{25} = 5$ см.
Следовательно, $SA = SC = 5$ см.

2. Найдём длины рёбер $SB$ и $SD$. Так как $OB=OD$, то и рёбра $SB$ и $SD$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$:
$SB^2 = SO^2 + OB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$
$SB = \sqrt{36} = 6$ см.
Следовательно, $SB = SD = 6$ см.

Ответ: боковые рёбра пирамиды имеют длины 5 см, 5 см, 6 см и 6 см.