Номер 309, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Правильные многогранники, дополнительные задачи. Глава 3. Многогранники - номер 309, страница 87.

Условие.

309. Основанием пирамиды с равными боковыми рёбрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведённого через меньшую сторону и середину высоты.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть дана пирамида $S-ABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=8$ дм и $AD=6$ дм. Вершина пирамиды $S$ проецируется в точку $O$ пересечения диагоналей прямоугольника, так как боковые ребра пирамиды равны. Высота пирамиды $SO=6$ дм.

Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через меньшую сторону основания, пусть это будет сторона $AD$, и через точку $M$ — середину высоты $SO$. Следовательно, $OM = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ дм.

Определим форму сечения. Поскольку сторона основания $AD$ параллельна стороне $BC$, а $BC$ лежит в плоскости грани $SBC$, то прямая $AD$ параллельна плоскости грани $SBC$. Секущая плоскость проходит через прямую $AD$ и пересекает плоскость $SBC$. Согласно свойству, линия пересечения этих плоскостей будет параллельна прямой $AD$. Пусть секущая плоскость пересекает боковые ребра $SB$ и $SC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда линия пересечения — это отрезок $EF$. Таким образом, $EF \parallel AD$. Фигура сечения $ADEF$ является трапецией с параллельными основаниями $AD$ и $EF$.

Для нахождения размеров трапеции (длин оснований и высоты) рассмотрим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и перпендикулярно стороне $AD$. Эта плоскость пересечет основание по отрезку $PQ$, где $P$ — середина $AD$, а $Q$ — середина $BC$. В сечении получим равнобедренный треугольник $SPQ$, в котором $SO$ — высота, равная 6 дм, а основание $PQ$ равно стороне $AB$, то есть $PQ=8$ дм. Точка $O$ является серединой $PQ$, поэтому $PO = OQ = 4$ дм.

Секущая плоскость содержит прямую $AD$ и, следовательно, ее середину $P$. Также она по условию содержит точку $M$ — середину высоты $SO$. Значит, прямая $PM$ целиком лежит в секущей плоскости. Найдем точку $R$ пересечения прямой $PM$ с отрезком $SQ$ (апофемой грани $SBC$). Точка $R$ является серединой верхнего основания $EF$ нашей трапеции.

Для нахождения координат точки $R$ введем систему координат в плоскости треугольника $SPQ$. Поместим начало координат в точку $O(0,0)$, ось абсцисс направим вдоль $PQ$, а ось ординат — вдоль $SO$. Координаты точек будут следующими: $S(0,6)$, $P(-4,0)$, $Q(4,0)$, $M(0,3)$.
Уравнение прямой, проходящей через точки $P(-4,0)$ и $M(0,3)$: $y - 0 = \frac{3-0}{0-(-4)}(x - (-4)) \implies y = \frac{3}{4}(x+4)$.
Уравнение прямой, проходящей через точки $S(0,6)$ и $Q(4,0)$: $y - 6 = \frac{0-6}{4-0}(x - 0) \implies y = -\frac{3}{2}x + 6$.
Найдем точку пересечения $R(x_R, y_R)$, решив систему уравнений: $\frac{3}{4}(x_R+4) = -\frac{3}{2}x_R + 6$
$3(x_R+4) = -6x_R + 24$
$3x_R + 12 = -6x_R + 24$
$9x_R = 12 \implies x_R = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
$y_R = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} + 6 = -2 + 6 = 4$.
Таким образом, точка $R$ имеет координаты $(\frac{4}{3}, 4)$.

Треугольники $\triangle SEF$ и $\triangle SBC$ подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот, проведенных из вершины $S$. Это отношение равно отношению расстояний от $S$ до прямой $EF$ и до прямой $BC$, измеренных вдоль высоты $SO$. Расстояние от $S$ до прямой, проходящей через $R$ параллельно $PQ$, равно $SO - y_R = 6-4=2$. Полная высота $SO=6$. $k = \frac{SO - y_R}{SO} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Длина верхнего основания трапеции $EF$ равна: $EF = k \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ дм.

Высота трапеции $h$ равна расстоянию между ее основаниями $AD$ и $EF$. В плоскости $SPQ$ это расстояние равно длине отрезка $PR$. Найдем ее, зная координаты точек $P(-4,0)$ и $R(\frac{4}{3}, 4)$: $h = PR = \sqrt{(x_R - x_P)^2 + (y_R - y_P)^2} = \sqrt{(\frac{4}{3} - (-4))^2 + (4 - 0)^2}$
$h = \sqrt{(\frac{16}{3})^2 + 4^2} = \sqrt{\frac{256}{9} + 16} = \sqrt{\frac{256+144}{9}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$ дм.

Теперь можем найти площадь трапеции $ADEF$: $A = \frac{AD+EF}{2} \cdot h = \frac{6+2}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{8}{2} \cdot \frac{20}{3} = 4 \cdot \frac{20}{3} = \frac{80}{3}$ дм².

Ответ: $\frac{80}{3}$ дм².