Номер 312, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 3. Многогранники. Параграф 3. Правильные многогранники, дополнительные задачи - номер 312, страница 88.

Условие.

312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Решение 2.

Решение 6.

Пусть дана правильная n-угольная пирамида S A?A?...A? с вершиной S. Пусть O — центр основания, тогда SO — высота пирамиды.

Угол $\phi$ между боковой гранью и плоскостью основания — это двугранный угол при ребре основания. Рассмотрим боковую грань SA?A? и ребро основания A?A?.

Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, проведем апофему боковой грани SH (где H — середина ребра A?A?). Так как пирамида правильная, то SH является высотой треугольника SA?A?, и, следовательно, $SH \perp A?A?$.

В плоскости основания проведем отрезок OH. Так как основание — правильный n-угольник, то OH — это апофема основания (радиус вписанной окружности) и $OH \perp A?A?$.

Таким образом, угол $\angle SHO$ является линейным углом двугранного угла между гранью SA?A? и плоскостью основания. По условию, $\angle SHO = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOH (так как $SO \perp$ плоскости основания, то $SO \perp OH$). Из этого треугольника находим:
$\tan(\phi) = \frac{SO}{OH}$, откуда высота пирамиды $SO = OH \cdot \tan(\phi)$.

Теперь рассмотрим угол между боковым ребром и плоскостью основания. Обозначим этот угол через $\alpha$. Это угол между боковым ребром (например, SA?) и его проекцией на плоскость основания (отрезком OA?). Таким образом, $\alpha = \angle SA?O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA? (так как $SO \perp$ плоскости основания, то $SO \perp OA?$). Тангенс искомого угла $\alpha$ равен:
$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA?}$.

Нам необходимо связать длины отрезков OH и OA?. Отрезок OA? — это радиус R окружности, описанной около правильного n-угольника в основании. Отрезок OH — это радиус r вписанной в него окружности (апофема).

Рассмотрим в плоскости основания прямоугольный треугольник OHA?. Центральный угол $\angle A?OA? = \frac{2\pi}{n}$. Угол $\angle A?OH$ равен его половине: $\angle A?OH = \frac{\pi}{n}$.

В треугольнике OHA? катет OH и гипотенуза OA? связаны соотношением:
$\cos(\angle A?OH) = \frac{OH}{OA?}$, то есть $OH = OA? \cdot \cos(\frac{\pi}{n})$.

Теперь подставим все полученные выражения в формулу для $\tan(\alpha)$:
$\tan(\alpha) = \frac{SO}{OA?} = \frac{OH \cdot \tan(\phi)}{OA?}$.
Заменяем OH:
$\tan(\alpha) = \frac{OA? \cdot \cos(\frac{\pi}{n}) \cdot \tan(\phi)}{OA?}$.

Сокращая $OA?$, получаем окончательный результат:
$\tan(\alpha) = \tan(\phi) \cdot \cos(\frac{\pi}{n})$.

Ответ: $\tan(\phi) \cdot \cos(\frac{\pi}{n})$.