Номер 310, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если AB = АС = 25 см, ВС = 40 см, DA = 8 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: треугольников $DAB$, $DAC$ и $DBC$.$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$

По условию, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $DA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $DA \perp AB$ и $DA \perp AC$.

Таким образом, треугольники $DAB$ и $DAC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $A$. Найдем их площади, используя формулу площади прямоугольного треугольника (половина произведения катетов):$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 25 = 100 \text{ см}^2$.$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 25 = 100 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь грани $DBC$. Для этого нам нужна ее высота, проведенная из вершины $D$ к основанию $BC$.Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании пирамиды. Так как $AB = AC = 25$ см, он является равнобедренным. Проведем в нем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $BC$.$MC = \frac{BC}{2} = \frac{40}{2} = 20$ см.Из прямоугольного треугольника $AMC$ (угол $\angle AMC = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем длину высоты $AM$:$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь рассмотрим наклонную $DM$ и ее проекцию $AM$ на плоскость $ABC$. Поскольку $DA \perp (ABC)$, а $AM$ — проекция $DM$ на эту плоскость, и $AM \perp BC$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $DM$ также перпендикулярна прямой $BC$ ($DM \perp BC$). Это означает, что $DM$ является высотой треугольника $DBC$.

Длину высоты $DM$ найдем из прямоугольного треугольника $DAM$ (угол $\angle DAM = 90^\circ$, так как $DA$ перпендикулярно любой прямой в плоскости $ABC$, в том числе и $AM$). По теореме Пифагора:$DM = \sqrt{DA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Зная высоту $DM$ и основание $BC$ треугольника $DBC$, найдем его площадь:$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 17 = 20 \cdot 17 = 340 \text{ см}^2$.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади всех боковых граней:$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} = 100 + 100 + 340 = 540 \text{ см}^2$.

Ответ: $540 \text{ см}^2$.