Номер 303, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если её высота равна 12 см.

Пусть дана пирамида SABCD, где ABCD – ромб в основании, а S – вершина пирамиды.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это грани SAB и SAD. Это означает, что их общее ребро SA перпендикулярно плоскости основания ABCD. Следовательно, SA является высотой пирамиды, и ее длина H = SA = 12 см.

Двугранный угол между этими гранями (SAB и SAD) равен 120°. Так как обе эти плоскости перпендикулярны плоскости основания, угол между ними равен углу между их линиями пересечения с основанием, то есть между сторонами ромба AB и AD. Таким образом, угол ромба ∠BAD = 120°.

Так как ABCD – ромб, то сумма соседних углов равна 180°. Значит, другой угол ромба, ∠ABC = 180° - 120° = 60°. Обозначим сторону ромба как a.

Две другие боковые грани, SBC и SDC, наклонены к плоскости основания под углом 30°. Угол наклона грани к плоскости основания – это линейный угол соответствующего двугранного угла.

Для грани SBC построим ее линейный угол. Проведем из точки A (проекции вершины S) перпендикуляр AK к стороне BC. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная SK также будет перпендикулярна BC. Следовательно, SK – это апофема (высота) грани SBC, а ∠SKA – это искомый линейный угол, и он равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ▵SAK (прямой угол ∠SAK, так как SA ⊥ плоскости основания). Мы знаем катет SA = 12 см и угол ∠SKA = 30°. Найдем катет AK:$AK = \frac{SA}{\tan(\angle SKA)} = \frac{12}{\tan(30^\circ)} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ см.

С другой стороны, AK является высотой ромба ABCD, проведенной к стороне BC. Длину этой высоты можно выразить через сторону ромба a и угол ∠ABC = 60°:$AK = AB \cdot \sin(\angle ABC) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем два выражения для AK, чтобы найти сторону ромба a:$a\frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь, когда все параметры пирамиды известны, можем найти площадь ее поверхности. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания (ромба ABCD).$S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\angle BAD) = 24^2 \cdot \sin(120^\circ) = 576 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 288\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.Боковая поверхность состоит из четырех треугольников: SAB, SAD, SBC и SDC.

Грани SAB и SAD – это прямоугольные треугольники, так как SA ⊥ AB и SA ⊥ AD. Они равны, так как имеют общий катет SA и равные катеты AB = AD = a.$S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$ см².

Грани SBC и SDC равны между собой по трем сторонам (SB=SD, BC=DC, SC-общая). Найдем площадь грани SBC. Основание BC = a = 24 см. Высота (апофема) этой грани – SK. Из прямоугольного треугольника ▵SAK:$SK = \frac{SA}{\sin(\angle SKA)} = \frac{12}{\sin(30^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.$S_{SBC} = S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 = 288$ см².

Площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 2 \cdot 144 + 2 \cdot 288 = 288 + 576 = 864$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 288\sqrt{3} + 864 = 288(3 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $288(3 + \sqrt{3})$ см².