Номер 297, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

297. Основанием треугольной призмы ABCА₁В₁С₁ является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А₁ проектируется в его центр. Докажите, что: a) A₁BD ⊥ AA₁C₁; б) AA₁O ⊥ BB₁C; в) грань BB₁C₁C — прямоугольник.

а) Докажите, что: $A_1BD \perp AA_1C_1$

По условию, основанием призмы является правильный треугольник $ABC$, а вершина $A_1$ проектируется в его центр $O$. Это означает, что отрезок $A_1O$ перпендикулярен плоскости основания $(ABC)$, то есть $A_1O \perp (ABC)$.

1. Так как $A_1O \perp (ABC)$, то прямая $A_1O$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, следовательно, $A_1O \perp AC$.

2. По условию $BD$ — высота в правильном треугольнике $ABC$. Следовательно, $BD \perp AC$.

3. Центр $O$ правильного треугольника лежит на его высотах, поэтому точка $O$ принадлежит отрезку $BD$. Это означает, что прямые $A_1O$ и $BD$ лежат в одной плоскости $(A_1BD)$ и пересекаются в точке $O$.

4. Из пунктов 1 и 2 следует, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($A_1O$ и $BD$) в плоскости $(A_1BD)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $(A_1BD)$, то есть $AC \perp (A_1BD)$.

5. Плоскость $(AA_1C_1)$ (которая совпадает с плоскостью грани $AA_1C_1C$) проходит через прямую $AC$.

6. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Так как плоскость $(AA_1C_1)$ проходит через прямую $AC$, а $AC \perp (A_1BD)$, то $(A_1BD) \perp (AA_1C_1)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажите, что: $AA_1O \perp BB_1C_1$

Плоскость $(AA_1O)$ определена боковым ребром $AA_1$ и центром основания $O$. Плоскость $(BB_1C_1)$ совпадает с плоскостью боковой грани $BB_1C_1C$.

1. Пусть $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — правильный, его медиана $AM$ является также и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$.

2. Центр $O$ правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому $O$ лежит на медиане $AM$. Таким образом, прямая $AO$ лежит на прямой $AM$, и, следовательно, $AO \perp BC$.

3. По условию $A_1O \perp (ABC)$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $A_1O \perp BC$.

4. Прямые $AO$ и $A_1O$ пересекаются в точке $O$ и лежат в плоскости $(AA_1O)$. Мы показали, что прямая $BC$ перпендикулярна обеим этим прямым. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AA_1O)$, то есть $BC \perp (AA_1O)$.

5. Плоскость грани $(BB_1C_1C)$ проходит через прямую $BC$.

6. Так как плоскость $(BB_1C_1C)$ проходит через прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $(AA_1O)$, то эти плоскости перпендикулярны: $(AA_1O) \perp (BB_1C_1C)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажите, что: грань $BB_1C_1C$ — прямоугольник

Боковая грань призмы $BB_1C_1C$ по определению является параллелограммом. Чтобы доказать, что это прямоугольник, достаточно показать, что один из его углов прямой, например, $\angle CBB_1 = 90^\circ$.

1. Из доказательства в пункте (б) мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(AA_1O)$, то есть $BC \perp (AA_1O)$.

2. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Боковое ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(AA_1O)$. Следовательно, $BC \perp AA_1$.

4. В призме все боковые ребра параллельны, поэтому $AA_1 \parallel BB_1$.

5. Если прямая ($BC$) перпендикулярна одной из двух параллельных прямых ($AA_1$), то она перпендикулярна и второй ($BB_1$). Таким образом, $BC \perp BB_1$.

6. Угол $\angle CBB_1$ в параллелограмме $BB_1C_1C$ является прямым. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, грань $BB_1C_1C$ — прямоугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.