Номер 293, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

293. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали B₁D и D₁B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А₁С и B₁D призмы равен 60°.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, в ее основании лежит квадрат, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Обозначим длину стороны квадрата $ABCD$ как $a$, а высоту призмы $AA_1$ как $h$.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим ее начало в вершину $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. В этой системе координат вершины призмы, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты: $B(a, 0, 0)$, $D(0, a, 0)$, $C(a, a, 0)$, $A_1(0, 0, h)$, $B_1(a, 0, h)$, $D_1(0, a, h)$.

Согласно условию задачи, диагонали призмы $B_1D$ и $D_1B$ взаимно перпендикулярны. Найдем векторы, соответствующие этим диагоналям, через их координаты:$\vec{B_1D} = D - B_1 = (0-a, a-0, 0-h) = (-a, a, -h)$.$\vec{D_1B} = B - D_1 = (a-0, 0-a, 0-h) = (a, -a, -h)$.Условием перпендикулярности двух векторов является равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{B_1D} \cdot \vec{D_1B} = 0$.Вычислим это скалярное произведение:$(-a) \cdot a + a \cdot (-a) + (-h) \cdot (-h) = -a^2 - a^2 + h^2 = h^2 - 2a^2$.Приравнивая результат к нулю, получаем соотношение между высотой призмы и стороной ее основания: $h^2 - 2a^2 = 0$, откуда $h^2 = 2a^2$.

Далее нам необходимо доказать, что угол $\alpha$ между диагоналями призмы $A_1C$ и $B_1D$ равен $60^\circ$. Для этого также найдем векторы, соответствующие этим диагоналям:$\vec{A_1C} = C - A_1 = (a-0, a-0, 0-h) = (a, a, -h)$.Вектор $\vec{B_1D}$ мы уже нашли: $\vec{B_1D} = (-a, a, -h)$.Косинус угла между векторами находится по формуле:$\cos(\alpha) = \frac{\vec{A_1C} \cdot \vec{B_1D}}{|\vec{A_1C}| \cdot |\vec{B_1D}|}$.Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{A_1C}$ и $\vec{B_1D}$:$\vec{A_1C} \cdot \vec{B_1D} = a \cdot (-a) + a \cdot a + (-h) \cdot (-h) = -a^2 + a^2 + h^2 = h^2$.Теперь найдем длины (модули) этих векторов:$|\vec{A_1C}| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$.$|\vec{B_1D}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{2a^2 + h^2}$.Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:$\cos(\alpha) = \frac{h^2}{\sqrt{2a^2 + h^2} \cdot \sqrt{2a^2 + h^2}} = \frac{h^2}{2a^2 + h^2}$.

Теперь воспользуемся ранее найденным соотношением $h^2 = 2a^2$:$\cos(\alpha) = \frac{2a^2}{2a^2 + 2a^2} = \frac{2a^2}{4a^2} = \frac{1}{2}$.Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, угол $\alpha$ между диагоналями $A_1C$ и $B_1D$ равен $60^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол между диагоналями $A_1C$ и $B_1D$ призмы равен $60^\circ$.