Номер 295, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб. Боковое ребро СС₁ составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC₁ ⊥ BD; б) BB₁D₁D — прямоугольник; в) BD ⊥ AA₁C₁; г) AA₁C₁ ⊥ BB₁D₁.

а) $CC_1 \perp BD$

Рассмотрим векторы. Пусть начало координат находится в точке $C$. Обозначим векторы: $\vec{c} = \vec{CC_1}$, $\vec{d} = \vec{CD}$ и $\vec{b} = \vec{CB}$.Поскольку основание $ABCD$ является ромбом, длины его сторон равны: $|\vec{d}| = |\vec{b}|$.По условию, боковое ребро $CC_1$ составляет равные углы со сторонами $CD$ и $CB$. Обозначим этот угол $\alpha$.Следовательно, $\angle(\vec{c}, \vec{d}) = \angle(\vec{c}, \vec{b}) = \alpha$.Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\cos(\angle(\vec{u}, \vec{v})) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.Так как углы равны, то равны и их косинусы:$\frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| |\vec{d}|} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{c}| |\vec{b}|}$.Поскольку $|\vec{d}| = |\vec{b}|$, из этого равенства следует, что скалярные произведения векторов также равны:$\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$.Чтобы доказать, что $CC_1 \perp BD$, нам нужно показать, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{CC_1} \cdot \vec{BD} = 0$.Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно выразить через векторы сторон: $\vec{BD} = \vec{CD} - \vec{CB} = \vec{d} - \vec{b}$.Найдем скалярное произведение:$\vec{CC_1} \cdot \vec{BD} = \vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b}$.Так как мы установили, что $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{b}$, то их разность равна нулю:$\vec{CC_1} \cdot \vec{BD} = 0$.Это означает, что векторы перпендикулярны, следовательно, прямые $CC_1$ и $BD$ также перпендикулярны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $BB_1D_1D$ — прямоугольник

Рассмотрим четырехугольник $BB_1D_1D$. В параллелепипеде боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, а значит стороны $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны. Это означает, что $BB_1D_1D$ — параллелограмм.Чтобы доказать, что параллелограмм является прямоугольником, достаточно показать, что один из его внутренних углов прямой, то есть что его смежные стороны перпендикулярны. Докажем, что $BB_1 \perp BD$.В параллелепипеде все боковые ребра параллельны друг другу, поэтому $BB_1 \parallel CC_1$.В пункте а) мы доказали, что $CC_1 \perp BD$.По свойству перпендикулярных прямых, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Так как $BB_1 \parallel CC_1$ и $CC_1 \perp BD$, то $BB_1 \perp BD$.Поскольку $BB_1D_1D$ — это параллелограмм с прямым углом $\angle B_1BD$, он является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) $BD \perp AA_1C_1$

Здесь $AA_1C_1$ обозначает плоскость, проходящую через точки $A, A_1, C_1$, которая также содержит точку $C$ и является диагональной плоскостью $AA_1C_1C$.Чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, нужно доказать, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.Рассмотрим прямую $BD$ и плоскость $AA_1C_1C$. Найдем две пересекающиеся прямые в этой плоскости, которым перпендикулярна $BD$.1. Прямая $AC$ лежит в плоскости $AA_1C_1C$. В основании параллелепипеда лежит ромб $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Следовательно, $BD \perp AC$.2. Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $AA_1C_1C$. В параллелепипеде боковые ребра параллельны, то есть $AA_1 \parallel CC_1$. В пункте а) мы доказали, что $CC_1 \perp BD$. Поскольку $AA_1 \parallel CC_1$, то и $AA_1 \perp BD$.Прямые $AC$ и $AA_1$ лежат в плоскости $AA_1C_1C$ и пересекаются в точке $A$.Так как прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $AA_1C_1C$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $BD$ перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) $AA_1C_1 \perp BB_1D_1$

Здесь $AA_1C_1$ и $BB_1D_1$ обозначают диагональные плоскости $AA_1C_1C$ и $BB_1D_1D$ соответственно.Чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, достаточно показать, что одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.Рассмотрим плоскости $AA_1C_1C$ и $BB_1D_1D$.В пункте в) мы доказали, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $AA_1C_1C$.Прямая $BD$ лежит в плоскости $BB_1D_1D$, так как точки $B$ и $D$ являются вершинами этой плоскости.По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость (в нашем случае $BB_1D_1D$) проходит через прямую ($BD$), перпендикулярную другой плоскости ($AA_1C_1C$), то эти плоскости взаимно перпендикулярны.Следовательно, плоскость $AA_1C_1C$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$.

Ответ: Что и требовалось доказать.