Номер 298, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

298. Основание параллелепипеда с боковым ребром b — квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, а боковое ребро равно $b$.По условию, одна из вершин верхнего основания, например $D_1$, равноудалена от всех вершин нижнего основания $A, B, C, D$. Это означает, что $D_1A = D_1B = D_1C = D_1D$.

Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, является центром этого квадрата (точкой пересечения его диагоналей). Следовательно, проекция вершины $D_1$ на плоскость нижнего основания $ABCD$ — это центр квадрата $ABCD$. Обозначим этот центр как точку $O$.

Таким образом, отрезок $D_1O$ является высотой параллелепипеда, $h = D_1O$.

1. Найдем высоту параллелепипеда $h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1OD$.Катет $D_1O$ — это высота $h$.Гипотенуза $D_1D$ — это боковое ребро $b$.Катет $OD$ — это расстояние от центра квадрата до его вершины, что равно половине диагонали квадрата.Диагональ квадрата $ABCD$ равна $d = a\sqrt{2}$.Тогда $OD = \frac{1}{2}d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.По теореме Пифагора для треугольника $D_1OD$:$D_1D^2 = D_1O^2 + OD^2$$b^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$$b^2 = h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$$b^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$Отсюда находим квадрат высоты:$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{2}$

2. Найдем площадь оснований.
Основания параллелепипеда — это два квадрата со стороной $a$.Площадь одного основания: $S_{осн} = a^2$.Площадь двух оснований: $2S_{осн} = 2a^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырех параллелограммов. Так как проекция вершины $D_1$ находится в центре основания, все четыре боковые грани являются конгруэнтными (равными) параллелограммами со сторонами $a$ и $b$.Найдем площадь одной боковой грани, например $CDD_1C_1$.Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Возьмем за основание сторону $CD=a$. Высотой параллелограмма будет перпендикуляр, опущенный из вершины $D_1$ на прямую $CD$.Рассмотрим плоскость, проходящую через $D_1$ и перпендикулярную ребру $CD$. В этой плоскости лежит высота параллелепипеда $D_1O$ и перпендикуляр из точки $O$ на сторону $CD$. Пусть $M$ — середина $CD$, тогда $OM \perp CD$ и $OM = a/2$.Треугольник $D_1OM$ — прямоугольный. Высота боковой грани $D_1M$ является гипотенузой в этом треугольнике.По теореме Пифагора для треугольника $D_1OM$:$D_1M^2 = D_1O^2 + OM^2$$D_1M^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$Подставим ранее найденное значение $h^2$:$D_1M^2 = \left(b^2 - \frac{a^2}{2}\right) + \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{4}$Высота боковой грани $h_{бок} = D_1M = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$.Площадь одной боковой грани:$S_{грань} = CD \cdot D_1M = a \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = a \cdot \sqrt{\frac{4b^2 - a^2}{4}} = a \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.Площадь всей боковой поверхности:$S_{бок} = 4 \cdot S_{грань} = 4 \cdot a \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$.

4. Найдем площадь полной поверхности.
Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$S_{полн} = 2a^2 + 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна $2a^2 + 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$.