Страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

298. Основание параллелепипеда с боковым ребром b — квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, а боковое ребро равно $b$.По условию, одна из вершин верхнего основания, например $D_1$, равноудалена от всех вершин нижнего основания $A, B, C, D$. Это означает, что $D_1A = D_1B = D_1C = D_1D$.

Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, является центром этого квадрата (точкой пересечения его диагоналей). Следовательно, проекция вершины $D_1$ на плоскость нижнего основания $ABCD$ — это центр квадрата $ABCD$. Обозначим этот центр как точку $O$.

Таким образом, отрезок $D_1O$ является высотой параллелепипеда, $h = D_1O$.

1. Найдем высоту параллелепипеда $h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1OD$.Катет $D_1O$ — это высота $h$.Гипотенуза $D_1D$ — это боковое ребро $b$.Катет $OD$ — это расстояние от центра квадрата до его вершины, что равно половине диагонали квадрата.Диагональ квадрата $ABCD$ равна $d = a\sqrt{2}$.Тогда $OD = \frac{1}{2}d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.По теореме Пифагора для треугольника $D_1OD$:$D_1D^2 = D_1O^2 + OD^2$$b^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$$b^2 = h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4}$$b^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$Отсюда находим квадрат высоты:$h^2 = b^2 - \frac{a^2}{2}$

2. Найдем площадь оснований.
Основания параллелепипеда — это два квадрата со стороной $a$.Площадь одного основания: $S_{осн} = a^2$.Площадь двух оснований: $2S_{осн} = 2a^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырех параллелограммов. Так как проекция вершины $D_1$ находится в центре основания, все четыре боковые грани являются конгруэнтными (равными) параллелограммами со сторонами $a$ и $b$.Найдем площадь одной боковой грани, например $CDD_1C_1$.Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Возьмем за основание сторону $CD=a$. Высотой параллелограмма будет перпендикуляр, опущенный из вершины $D_1$ на прямую $CD$.Рассмотрим плоскость, проходящую через $D_1$ и перпендикулярную ребру $CD$. В этой плоскости лежит высота параллелепипеда $D_1O$ и перпендикуляр из точки $O$ на сторону $CD$. Пусть $M$ — середина $CD$, тогда $OM \perp CD$ и $OM = a/2$.Треугольник $D_1OM$ — прямоугольный. Высота боковой грани $D_1M$ является гипотенузой в этом треугольнике.По теореме Пифагора для треугольника $D_1OM$:$D_1M^2 = D_1O^2 + OM^2$$D_1M^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$Подставим ранее найденное значение $h^2$:$D_1M^2 = \left(b^2 - \frac{a^2}{2}\right) + \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = b^2 - \frac{a^2}{4}$Высота боковой грани $h_{бок} = D_1M = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$.Площадь одной боковой грани:$S_{грань} = CD \cdot D_1M = a \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = a \cdot \sqrt{\frac{4b^2 - a^2}{4}} = a \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$.Площадь всей боковой поверхности:$S_{бок} = 4 \cdot S_{грань} = 4 \cdot a \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$.

4. Найдем площадь полной поверхности.
Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$S_{полн} = 2a^2 + 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна $2a^2 + 2a\sqrt{4b^2 - a^2}$.

299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна m, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а высота пирамиды проецируется в центр этого треугольника.

Пусть сторона основания $a = m$.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим $a = m$:

$S_{осн} = \frac{m^2\sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$).

По условию задачи, площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{m^2\sqrt{3}}{4} = \frac{m^2\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем апофему пирамиды ($h_a$).

Апофема – это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Площадь боковой поверхности также равна половине произведения периметра основания $P$ на апофему $h_a$.

$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$

Периметр основания $P = 3a = 3m$.

Приравняем два выражения для $S_{бок}$:

$\frac{1}{2} (3m) \cdot h_a = \frac{m^2\sqrt{3}}{2}$

Умножим обе части на 2 и разделим на $m$ (так как $m > 0$):

$3h_a = m\sqrt{3}$

$h_a = \frac{m\sqrt{3}}{3}$

4. Найдем высоту пирамиды ($H$).

Высота пирамиды $H$, апофема $h_a$ и радиус вписанной в основание окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, в котором апофема является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$H^2 + r^2 = h_a^2 \implies H = \sqrt{h_a^2 - r^2}$

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим $a = m$:

$r = \frac{m}{2\sqrt{3}}$

Теперь подставим найденные значения $h_a$ и $r$ в формулу для высоты $H$:

$H^2 = \left(\frac{m\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{m}{2\sqrt{3}}\right)^2$

$H^2 = \frac{m^2 \cdot 3}{9} - \frac{m^2}{4 \cdot 3}$

$H^2 = \frac{m^2}{3} - \frac{m^2}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$H^2 = \frac{4m^2}{12} - \frac{m^2}{12} = \frac{3m^2}{12} = \frac{m^2}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$H = \sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{m}{2}$

Ответ: $\frac{m}{2}$

300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, AB и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно b.

Определение вида сечения

Пусть дана правильная треугольная пирамида $DABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, а боковые ребра $DA = DB = DC = b$. Точки $E$, $F$ и $P$ — середины сторон $BC$, $AB$ и $AD$ соответственно. Построим сечение, проходящее через эти три точки.

1. Соединим точки $E$ и $F$, лежащие в плоскости основания $ABC$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $EF$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

2. Соединим точки $F$ и $P$, лежащие в плоскости боковой грани $DAB$. Отрезок $FP$ является средней линией треугольника $DAB$. Следовательно, $FP$ параллелен боковому ребру $DB$ и его длина равна половине длины $DB$: $FP \parallel DB$ и $FP = \frac{1}{2}DB = \frac{b}{2}$.

3. Поскольку $FP \parallel DB$, то прямая $DB$ параллельна плоскости сечения $(EFP)$. Плоскость сечения пересекает плоскость грани $DBC$ (которая содержит прямую $DB$) по прямой, проходящей через точку $E$ и параллельной $DB$. Проведем в плоскости $DBC$ прямую через $E$ параллельно $DB$. Пусть она пересекает ребро $DC$ в точке $Q$. Так как $E$ — середина $BC$ и $EQ \parallel DB$, то $EQ$ — средняя линия треугольника $DBC$. Значит, точка $Q$ — середина ребра $DC$.

4. Четырехугольник $EFQP$ является искомым сечением. Определим его вид.

• Мы уже установили, что $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{a}{2}$.
• Рассмотрим сторону $PQ$. Точки $P$ и $Q$ являются серединами ребер $AD$ и $DC$ соответственно. Значит, $PQ$ — средняя линия треугольника $ADC$. Следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
• Из $EF \parallel AC$ и $PQ \parallel AC$ следует, что $EF \parallel PQ$. Так как $EF = PQ = \frac{a}{2}$, то четырехугольник $EFQP$ — параллелограмм.
• Мы знаем, что $FP = \frac{b}{2}$ и $EQ = \frac{b}{2}$.

5. Чтобы определить, является ли параллелограмм прямоугольником, проверим перпендикулярность его смежных сторон, например, $FP$ и $PQ$. Так как $FP \parallel DB$ и $PQ \parallel AC$, то угол между $FP$ и $PQ$ равен углу между скрещивающимися прямыми $DB$ и $AC$.

Докажем, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра $AC$ и $DB$ перпендикулярны.

• Пусть $M$ — середина ребра $AC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является также высотой, поэтому $BM \perp AC$.
• В равнобедренном треугольнике $DAC$ ($DA=DC=b$) медиана $DM$ также является высотой, поэтому $DM \perp AC$.
• Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BM$ и $DM$) в плоскости $DBM$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $DBM$.
• Прямая $DB$ лежит в плоскости $DBM$.
• Следовательно, $AC \perp DB$.

Поскольку $FP \parallel DB$ и $PQ \parallel AC$, а $AC \perp DB$, то и $FP \perp PQ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $EFQP$ — это прямоугольник.

Ответ: Сечение является прямоугольником.

Нахождение площади сечения

Мы определили, что сечение является прямоугольником $EFQP$. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Длины сторон прямоугольника были найдены ранее:

• $EF = PQ = \frac{a}{2}$
• $FP = EQ = \frac{b}{2}$

Площадь сечения $S$ равна: $S_{EFQP} = EF \cdot FP = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$.

Ответ: $\frac{ab}{4}$.

301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины В до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $DABC$, где $D$ — вершина, а $ABC$ — равносторонний треугольник в основании. Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведенная из вершины $D$. Обозначим апофему как $DM$, где $M$ — середина стороны основания, например, $BC$.

1. Построение и анализ линейного угла.

Двугранный угол при боковом ребре, например $DA$, — это угол между плоскостями боковых граней $(DAB)$ и $(DAC)$. Для его измерения построим линейный угол. В плоскости $(DAB)$ проведем перпендикуляр $BH$ к ребру $DA$. Расстояние от вершины $B$ до ребра $DA$ по условию равно 16 см, следовательно, длина этого перпендикуляра $BH = 16$ см.

Так как пирамида правильная, ее боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Поэтому высота из вершины $C$ на ребро $DA$ в треугольнике $DAC$ также будет опущена в точку $H$, и ее длина будет такой же: $CH = BH = 16$ см.

Угол $BHC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $DA$. По условию, $\angle BHC = 120^\circ$.

2. Нахождение стороны основания.

Рассмотрим треугольник $BHC$. Он равнобедренный, так как $BH = CH = 16$ см. Найдем длину стороны $BC$ по теореме косинусов:$BC^2 = BH^2 + CH^2 - 2 \cdot BH \cdot CH \cdot \cos(\angle BHC)$$BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^\circ)$Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:$BC^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2}) = 512 + 256 = 768$$BC = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3}$ см.

Сторона основания пирамиды $a = BC = 16\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение длины бокового ребра.

Рассмотрим боковую грань — равнобедренный треугольник $DAB$. Стороны этого треугольника: $AB = a = 16\sqrt{3}$ см, а боковые ребра $DA = DB = l$. Высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $DA$, равна $BH = 16$ см. Так как $BH \perp DA$, треугольник $ABH$ является прямоугольным с гипотенузой $AB$ и катетами $BH$ и $AH$.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:$AH^2 + BH^2 = AB^2$$AH^2 + 16^2 = (16\sqrt{3})^2$$AH^2 + 256 = 768$$AH^2 = 768 - 256 = 512$$AH = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем боковое ребро $l=DA$. Обозначим угол при основании боковой грани $\alpha = \angle DAB$. В прямоугольном треугольнике $ABH$:$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{16\sqrt{2}}{16\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

В равнобедренном треугольнике $DAB$ проведем высоту из вершины $D$ на основание $AB$. Она разделит угол $\angle ADB$ и сторону $AB$ пополам. Другой способ — применить теорему косинусов для стороны $DB$ в $\triangle DAB$:$DB^2 = DA^2 + AB^2 - 2 \cdot DA \cdot AB \cdot \cos(\alpha)$$l^2 = l^2 + a^2 - 2 \cdot l \cdot a \cdot \cos(\alpha)$$0 = a^2 - 2la \cos(\alpha) \implies a = 2l \cos(\alpha)$Подставим известные значения $a$ и $\cos(\alpha)$:$16\sqrt{3} = 2 \cdot l \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$$8\sqrt{3} = l \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$l = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$ см.

Итак, длина бокового ребра $l = 12\sqrt{2}$ см.

4. Нахождение апофемы пирамиды.

Апофема $DM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $DBC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMC$, где $DC = l = 12\sqrt{2}$ см — гипотенуза, а катет $MC$ равен половине стороны основания $BC$:$MC = \frac{BC}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

По теореме Пифагора:$DM^2 + MC^2 = DC^2$$DM^2 = DC^2 - MC^2 = (12\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3})^2$$DM^2 = (144 \cdot 2) - (64 \cdot 3) = 288 - 192 = 96$$DM = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Ответ: $4\sqrt{6}$ см.

302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, а $S$ — её вершина. Стороны параллелограмма равны $a = 3$ см и $b = 7$ см, одна из диагоналей, например $d_1 = AC$, равна 6 см. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и равна $H = 4$ см.

Боковые рёбра пирамиды ($SA$, $SB$, $SC$, $SD$) являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках ($ \triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD $), где катетами служат высота пирамиды $SO$ и половины диагоналей основания ($OA, OB, OC, OD$). Следовательно, для нахождения длин боковых рёбер нам нужно сначала найти длины обеих диагоналей параллелограмма.

Нахождение длин диагоналей и их половин

В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Длина одной диагонали дана: $AC = 6$ см.
Тогда половины этой диагонали равны: $OA = OC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Для нахождения второй диагонали ($BD$) используем свойство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.
$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$
Подставим известные значения:
$6^2 + BD^2 = 2(3^2 + 7^2)$
$36 + BD^2 = 2(9 + 49)$
$36 + BD^2 = 2(58)$
$36 + BD^2 = 116$
$BD^2 = 116 - 36 = 80$
$BD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Тогда половины второй диагонали равны: $OB = OD = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$ см.

Нахождение длин боковых рёбер

Теперь, зная длины половин диагоналей и высоту, мы можем найти длины боковых рёбер по теореме Пифагора.

1. Найдём длины рёбер $SA$ и $SC$. Так как $OA=OC$, то и рёбра $SA$ и $SC$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$SA = \sqrt{25} = 5$ см.
Следовательно, $SA = SC = 5$ см.

2. Найдём длины рёбер $SB$ и $SD$. Так как $OB=OD$, то и рёбра $SB$ и $SD$ равны. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOB$:
$SB^2 = SO^2 + OB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$
$SB = \sqrt{36} = 6$ см.
Следовательно, $SB = SD = 6$ см.

Ответ: боковые рёбра пирамиды имеют длины 5 см, 5 см, 6 см и 6 см.

303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если её высота равна 12 см.

Пусть дана пирамида SABCD, где ABCD – ромб в основании, а S – вершина пирамиды.

По условию, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это грани SAB и SAD. Это означает, что их общее ребро SA перпендикулярно плоскости основания ABCD. Следовательно, SA является высотой пирамиды, и ее длина H = SA = 12 см.

Двугранный угол между этими гранями (SAB и SAD) равен 120°. Так как обе эти плоскости перпендикулярны плоскости основания, угол между ними равен углу между их линиями пересечения с основанием, то есть между сторонами ромба AB и AD. Таким образом, угол ромба ∠BAD = 120°.

Так как ABCD – ромб, то сумма соседних углов равна 180°. Значит, другой угол ромба, ∠ABC = 180° - 120° = 60°. Обозначим сторону ромба как a.

Две другие боковые грани, SBC и SDC, наклонены к плоскости основания под углом 30°. Угол наклона грани к плоскости основания – это линейный угол соответствующего двугранного угла.

Для грани SBC построим ее линейный угол. Проведем из точки A (проекции вершины S) перпендикуляр AK к стороне BC. По теореме о трех перпендикулярах, наклонная SK также будет перпендикулярна BC. Следовательно, SK – это апофема (высота) грани SBC, а ∠SKA – это искомый линейный угол, и он равен 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ▵SAK (прямой угол ∠SAK, так как SA ⊥ плоскости основания). Мы знаем катет SA = 12 см и угол ∠SKA = 30°. Найдем катет AK:$AK = \frac{SA}{\tan(\angle SKA)} = \frac{12}{\tan(30^\circ)} = \frac{12}{1/\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ см.

С другой стороны, AK является высотой ромба ABCD, проведенной к стороне BC. Длину этой высоты можно выразить через сторону ромба a и угол ∠ABC = 60°:$AK = AB \cdot \sin(\angle ABC) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Приравняем два выражения для AK, чтобы найти сторону ромба a:$a\frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь, когда все параметры пирамиды известны, можем найти площадь ее поверхности. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания (ромба ABCD).$S_{осн} = a^2 \cdot \sin(\angle BAD) = 24^2 \cdot \sin(120^\circ) = 576 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 288\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности.Боковая поверхность состоит из четырех треугольников: SAB, SAD, SBC и SDC.

Грани SAB и SAD – это прямоугольные треугольники, так как SA ⊥ AB и SA ⊥ AD. Они равны, так как имеют общий катет SA и равные катеты AB = AD = a.$S_{SAB} = S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$ см².

Грани SBC и SDC равны между собой по трем сторонам (SB=SD, BC=DC, SC-общая). Найдем площадь грани SBC. Основание BC = a = 24 см. Высота (апофема) этой грани – SK. Из прямоугольного треугольника ▵SAK:$SK = \frac{SA}{\sin(\angle SKA)} = \frac{12}{\sin(30^\circ)} = \frac{12}{1/2} = 24$ см.$S_{SBC} = S_{SDC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 24 = 288$ см².

Площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{SAB} + S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SDC} = 2 \cdot 144 + 2 \cdot 288 = 288 + 576 = 864$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды.$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 288\sqrt{3} + 864 = 288(3 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $288(3 + \sqrt{3})$ см².

304. В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $S$ — вершина, а $ABCD$ — квадратное основание. По условию, плоский угол при вершине равен $60^\circ$. Это означает, что угол в каждой боковой грани при вершине $S$ равен $60^\circ$, например, $\angle ASB = 60^\circ$.

Так как пирамида правильная, ее боковые грани — равные равнобедренные треугольники. В нашем случае, $\triangle ASB$ является равнобедренным с $SA = SB$. Поскольку угол при вершине $\angle ASB = 60^\circ$, то углы при основании этого треугольника также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, все боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Это означает, что все ребра пирамиды равны. Обозначим длину ребра за $a$: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a$.

Нахождение двугранного угла между боковой гранью и основанием

Пусть $\alpha$ — двугранный угол между боковой гранью, например, $(SBC)$, и основанием $(ABCD)$. Этот угол измеряется линейным углом, образованным двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения, то есть к ребру $BC$.

Проведем апофему $SM$ в грани $SBC$. Так как $\triangle SBC$ — равносторонний, $SM$ является его высотой и медианой, поэтому $M$ — середина $BC$ и $SM \perp BC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Проведем отрезок $OM$. Так как $ABCD$ — квадрат, $OM$ является средней линией $\triangle ABC$ или $\triangle DBC$ (в зависимости от расположения), и $OM \perp BC$. Длина $OM$ равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$.

Поскольку $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, то $\angle SMO$ — это линейный угол двугранного угла $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (где $\angle SOM = 90^\circ$, так как $SO$ — высота пирамиды).

Найдем косинус угла $\alpha = \angle SMO$:

$\cos \alpha = \frac{OM}{SM} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Нахождение двугранного угла при боковом ребре

Пусть $\beta$ — двугранный угол при боковом ребре, например, при ребре $SB$. Этот угол образован двумя смежными боковыми гранями $(SAB)$ и $(SBC)$.

Для нахождения этого угла построим его линейный угол. Проведем в гранях $(SAB)$ и $(SBC)$ перпендикуляры к общему ребру $SB$.

В равностороннем треугольнике $\triangle SAB$ проведем высоту $AH$ к стороне $SB$. Длина этой высоты равна $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В равностороннем треугольнике $\triangle SBC$ проведем высоту $CH$ к стороне $SB$. Длина этой высоты равна $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $\angle AHC$ является линейным углом двугранного угла $\beta$. Рассмотрим треугольник $\triangle AHC$. Мы знаем длины его сторон: $AH = CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Третья сторона, $AC$, является диагональю квадрата $ABCD$, ее длина $AC = a\sqrt{2}$.

Применим к треугольнику $\triangle AHC$ теорему косинусов для нахождения угла $\beta = \angle AHC$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos\beta$

$(a\sqrt{2})^2 = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\beta$

$2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos\beta$

$2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos\beta$

$2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos\beta$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos\beta$

$2 - \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} \cos\beta$

$\frac{1}{2} = - \frac{3}{2} \cos\beta$

$\cos\beta = -\frac{1}{3}$.

Доказательство

Мы получили значения косинусов для обоих углов: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\cos\beta = -\frac{1}{3}$. Нам нужно доказать, что $\alpha = \frac{\beta}{2}$, что эквивалентно $\beta = 2\alpha$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим найденное значение $\cos\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, мы получили, что $\cos(2\alpha) = -\frac{1}{3}$, и мы также знаем, что $\cos\beta = -\frac{1}{3}$. Следовательно, $\cos(2\alpha) = \cos\beta$.

Поскольку $\alpha$ — угол между плоскостью боковой грани и основанием, он острый ($0 < \alpha < 90^\circ$). Значит, $0 < 2\alpha < 180^\circ$. Угол $\beta$ — двугранный угол в пирамиде, он также находится в диапазоне $0 < \beta < 180^\circ$. Из равенства $\cos(2\alpha) = \cos\beta$ на этом интервале следует, что $2\alpha = \beta$.

Это доказывает, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды ($\alpha$) вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре ($\beta$).

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\cos \beta = -\frac{1}{3}$, а из формулы двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ следует, что $\cos(2\alpha) = \cos\beta$, откуда $2\alpha = \beta$.

305. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Основание является квадратом, а высота пирамиды $SO=h$ проецируется в центр квадрата $O$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ складывается из площадей четырёх равных равнобедренных треугольников, являющихся боковыми гранями.$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB}$.

Плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$, это означает, что угол в каждой боковой грани при вершине $S$ равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим длину бокового ребра через $L$, то есть $SA = SB = SC = SD = L$.

Площадь боковой грани $\triangle SAB$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$.

Тогда площадь всей боковой поверхности равна:$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} L^2 \sin\alpha\right) = 2 L^2 \sin\alpha$.

Для нахождения итогового ответа необходимо выразить $L$ через заданные в условии величины: высоту $h$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, образованный высотой пирамиды $SO$, боковым ребром $SA$ и половиной диагонали основания $OA$. В этом треугольнике $SO = h$ и $SA = L$.

Пусть сторона квадрата в основании равна $a$. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$, а её половина $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.По теореме Пифагора для $\triangle SOA$:$L^2 = SO^2 + OA^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{2}$.

Теперь найдём связь между $a$, $L$ и $\alpha$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SAB$ (боковой грани) стороны равны $SA=SB=L$, основание $AB=a$, а угол при вершине $\angle ASB = \alpha$. Проведём высоту $SM$ из вершины $S$ к основанию $AB$. Эта высота является также медианой и биссектрисой.В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle SMA$ катет $AM = \frac{a}{2}$, гипотенуза $SA = L$ и угол $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{AM}{SA} = \frac{a/2}{L}$.Отсюда выразим сторону основания $a$:$a = 2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим полученное выражение для $a$ в уравнение теоремы Пифагора:$L^2 = h^2 + \frac{\left(2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}{2} = h^2 + \frac{4L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2} = h^2 + 2L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь решим это уравнение относительно $L^2$:$L^2 - 2L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = h^2$$L^2\left(1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = h^2$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, получаем:$L^2 \cos\alpha = h^2$.Отсюда, $L^2 = \frac{h^2}{\cos\alpha}$.

Наконец, подставим это выражение для $L^2$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = 2 L^2 \sin\alpha = 2 \cdot \frac{h^2}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha$.

Учитывая, что $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем окончательное выражение:$S_{бок} = 2h^2 \tan\alpha$.

Ответ: $2h^2 \tan\alpha$.

306. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $O$ – центр основания, $SO$ – высота пирамиды, $SO = h$.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Найдем угол между высотой $SO$ и плоскостью боковой грани, например, $SBC$.

Проведем апофему $SM$ (где $M$ – середина $BC$). $SM$ является высотой треугольника $SBC$. Так как пирамида правильная, $SO \perp (ABC)$. $OM$ – проекция $SM$ на плоскость основания. Так как $M$ – середина $BC$, то $OM \perp BC$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp BC$.

Рассмотрим плоскость $SOM$. Так как $BC \perp OM$ и $BC \perp SO$ (поскольку $SO$ перпендикулярна всей плоскости основания), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $SOM$.

Чтобы найти угол между высотой $SO$ и плоскостью $SBC$, нужно спроецировать $SO$ на эту плоскость. Точка $S$ уже лежит в плоскости $SBC$. Найдем проекцию точки $O$ на плоскость $SBC$. Для этого из точки $O$ опустим перпендикуляр $OP$ на прямую $SM$ ($P \in SM$). Так как $OP$ лежит в плоскости $SOM$ и $BC \perp (SOM)$, то $OP \perp BC$. Поскольку $OP$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($SM$ и $BC$) в плоскости $SBC$, то $OP$ перпендикулярен всей плоскости $SBC$.

Следовательно, $SP$ – это проекция $SO$ на плоскость $SBC$. Угол между $SO$ и плоскостью $SBC$ – это $\angle OSP$. Так как точка $P$ лежит на отрезке $SM$, то $\angle OSP$ совпадает с углом $\angle OSM$. Таким образом, данный в условии угол $\phi$ равен углу $\angle OSM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ ($\angle SOM = 90^\circ$). В нем $SO = h$ и $\angle OSM = \phi$.

Найдем сторону основания $a$ и апофему $l=SM$.
Катет $OM$ равен половине стороны основания: $OM = a/2$.
Из $\triangle SOM$:
$OM = SO \cdot \tan(\angle OSM) = h \tan\phi$.
Отсюда сторона основания $a = 2 \cdot OM = 2h \tan\phi$.
Апофема $l = SM = \frac{SO}{\cos(\angle OSM)} = \frac{h}{\cos\phi}$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Площадь основания (квадрата):
$S_{осн} = a^2 = (2h \tan\phi)^2 = 4h^2 \tan^2\phi$.

Площадь боковой поверхности (четырех одинаковых треугольников):
$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SBC} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = 2a l$.
$S_{бок} = 2 \cdot (2h \tan\phi) \cdot \left(\frac{h}{\cos\phi}\right) = 4h^2 \frac{\tan\phi}{\cos\phi} = 4h^2 \frac{\sin\phi}{\cos^2\phi}$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 4h^2 \tan^2\phi + 4h^2 \frac{\sin\phi}{\cos^2\phi}$.
$S_{полн} = 4h^2 \frac{\sin^2\phi}{\cos^2\phi} + 4h^2 \frac{\sin\phi}{\cos^2\phi} = \frac{4h^2}{\cos^2\phi} (\sin^2\phi + \sin\phi)$.
$S_{полн} = \frac{4h^2 \sin\phi (1 + \sin\phi)}{\cos^2\phi}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\phi = 1 - \sin^2\phi = (1 - \sin\phi)(1 + \sin\phi)$, получим более простое выражение:
$S_{полн} = \frac{4h^2 \sin\phi (1 + \sin\phi)}{(1 - \sin\phi)(1 + \sin\phi)} = \frac{4h^2 \sin\phi}{1 - \sin\phi}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{4h^2 \sin\phi (1 + \sin\phi)}{\cos^2\phi}$ или $S_{полн} = \frac{4h^2 \sin\phi}{1 - \sin\phi}$.

307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения.

1. Построение сечения.

Дана правильная пирамида MABCD, следовательно, в ее основании лежит квадрат ABCD, а вершина M проецируется в центр основания O — точку пересечения диагоналей AC и BD. Все боковые ребра пирамиды равны: $AM = BM = CM = DM = b$. Сторона основания $AD = a$.

Секущая плоскость ? проходит через диагональ основания BD и параллельна боковому ребру MA.

Поскольку плоскость ? содержит прямую BD, то точки B и D принадлежат сечению.

Для построения плоскости, которая проходит через прямую BD и параллельна прямой MA, нужно выбрать точку на прямой BD (например, точку O) и провести через нее прямую, параллельную MA. Точка O является серединой диагонали AC, а также серединой диагонали BD.

Рассмотрим плоскость диагонального сечения MAC. В этой плоскости лежат ребро MA и точка O. Проведем в плоскости MAC через точку O прямую, параллельную MA. Пусть эта прямая пересекает боковое ребро MC в точке K. Таким образом, мы получили прямую $OK \parallel MA$.

Поскольку прямая OK лежит в секущей плоскости ? ($O \in BD$, а $BD \subset \alpha$) и $OK \parallel MA$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, вся плоскость ? параллельна прямой MA.

Искомое сечение проходит через точки B, K, D. Следовательно, сечением является треугольник BKD.

2. Нахождение площади сечения.

Площадь треугольника BKD можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания треугольника BKD возьмем диагональ BD. Так как ABCD — квадрат со стороной $a$, его диагональ по теореме Пифагора равна $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь найдем высоту треугольника BKD, проведенную из вершины K к основанию BD.

В треугольнике MAC точка O является серединой стороны AC. По построению, $OK \parallel MA$. По теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает вторую сторону в ее середине, то она пересекает и третью сторону в ее середине. Следовательно, K — середина ребра MC. Таким образом, отрезок OK является средней линией треугольника MAC.

Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны: $OK = \frac{1}{2} MA$. По условию $AM = b$, значит $OK = \frac{b}{2}$.

Докажем, что OK является высотой треугольника BKD, то есть $KO \perp BD$.

• В правильной пирамиде высота MO перпендикулярна плоскости основания ABCD, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $MO \perp BD$.
• В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
• Поскольку прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым MO и AC, лежащим в плоскости MAC, то прямая BD перпендикулярна всей плоскости MAC.
• Так как прямая KO лежит в плоскости MAC, то $KO \perp BD$.

Таким образом, OK — высота треугольника BKD, проведенная к основанию BD.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{BKD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = \frac{ab\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Сечением является треугольник BKD, где K — середина ребра MC. Площадь сечения равна $\frac{ab\sqrt{2}}{4}$.

б) Докажите, что точки M и C равноудалены от плоскости ?.

Требуется доказать, что расстояние от точки M до плоскости ? (плоскости BKD) равно расстоянию от точки C до той же плоскости.

Из построения в пункте а) мы установили, что точка K, принадлежащая плоскости сечения ?, является серединой бокового ребра MC. Это означает, что $MK = KC$.

Таким образом, отрезок MC пересекает плоскость ? в точке K, которая является его серединой.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры из точек M и C на плоскость ?. Пусть $MH_M$ — перпендикуляр из M, а $CH_C$ — перпендикуляр из C. Длины этих перпендикуляров, $MH_M$ и $CH_C$, являются искомыми расстояниями.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MKH_M$ и $\triangle CKH_C$.

• Углы $\angle MH_MK$ и $\angle CH_CK$ являются прямыми ($90^\circ$) по определению перпендикуляра к плоскости.
• Гипотенузы равны: $MK = CK$, так как K — середина отрезка MC.
• Углы $\angle MKH_M$ и $\angle CKH_C$ равны как вертикальные. (Прямые $MH_M$ и $CH_C$ параллельны друг другу, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости ?. Следовательно, точки M, K, C, H_M, H_C лежат в одной плоскости, а прямые MC и H_MH_C пересекаются в точке K).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle MKH_M$ и $\triangle CKH_C$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $MH_M = CH_C$.

Это означает, что расстояние от точки M до плоскости ? равно расстоянию от точки C до плоскости ?, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — ромб, а $S$ — вершина пирамиды. Сторона ромба $a = 5$ см, меньшая диагональ $d_1 = 6$ см. Высота пирамиды $H = 3,2$ см. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, высота пирамиды $SO$ проходит через точку $O$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — ромб $ABCD$.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Пусть $BD$ — меньшая диагональ, тогда $BD = d_1 = 6$ см. Пусть $AC$ — большая диагональ ($d_2$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$).
Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, $AB = 5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $AO$:
$AO^2 + BO^2 = AB^2$
$AO^2 + 3^2 = 5^2$
$AO^2 + 9 = 25$
$AO^2 = 25 - 9 = 16$
$AO = \sqrt{16} = 4$ см.
Катет $AO$ — это половина большей диагонали $AC$, значит $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см.

2. Найдем высоту боковой грани.
Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой. Так как высота пирамиды $SO$ проходит через центр ромба $O$, все боковые грани являются равными треугольниками, и их высоты (апофемы) равны между собой.
Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне ромба $AB$. $OK$ является высотой в треугольнике $AOB$.
Площадь прямоугольного треугольника $AOB$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см$^2$.
С другой стороны, $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK$.
$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot OK = 6$
$OK = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$.
В этом треугольнике:
- $SO$ — катет, равный высоте пирамиды ($H = 3,2$ см).
- $OK$ — катет, равный расстоянию от центра основания до стороны ($OK = 2,4$ см).
- $SK$ — гипотенуза, которая является высотой боковой грани $SAB$ (апофемой).
По теореме Пифагора найдем $SK$:
$SK^2 = SO^2 + OK^2$
$SK^2 = (3,2)^2 + (2,4)^2$
$SK^2 = 10,24 + 5,76$
$SK^2 = 16$
$SK = \sqrt{16} = 4$ см.
Так как все боковые грани равны, высоты всех боковых граней равны 4 см.

Ответ: 4 см.

309. Основанием пирамиды с равными боковыми рёбрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведённого через меньшую сторону и середину высоты.

Пусть дана пирамида $S-ABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=8$ дм и $AD=6$ дм. Вершина пирамиды $S$ проецируется в точку $O$ пересечения диагоналей прямоугольника, так как боковые ребра пирамиды равны. Высота пирамиды $SO=6$ дм.

Сечение, площадь которого необходимо найти, проходит через меньшую сторону основания, пусть это будет сторона $AD$, и через точку $M$ — середину высоты $SO$. Следовательно, $OM = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ дм.

Определим форму сечения. Поскольку сторона основания $AD$ параллельна стороне $BC$, а $BC$ лежит в плоскости грани $SBC$, то прямая $AD$ параллельна плоскости грани $SBC$. Секущая плоскость проходит через прямую $AD$ и пересекает плоскость $SBC$. Согласно свойству, линия пересечения этих плоскостей будет параллельна прямой $AD$. Пусть секущая плоскость пересекает боковые ребра $SB$ и $SC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Тогда линия пересечения — это отрезок $EF$. Таким образом, $EF \parallel AD$. Фигура сечения $ADEF$ является трапецией с параллельными основаниями $AD$ и $EF$.

Для нахождения размеров трапеции (длин оснований и высоты) рассмотрим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и перпендикулярно стороне $AD$. Эта плоскость пересечет основание по отрезку $PQ$, где $P$ — середина $AD$, а $Q$ — середина $BC$. В сечении получим равнобедренный треугольник $SPQ$, в котором $SO$ — высота, равная 6 дм, а основание $PQ$ равно стороне $AB$, то есть $PQ=8$ дм. Точка $O$ является серединой $PQ$, поэтому $PO = OQ = 4$ дм.

Секущая плоскость содержит прямую $AD$ и, следовательно, ее середину $P$. Также она по условию содержит точку $M$ — середину высоты $SO$. Значит, прямая $PM$ целиком лежит в секущей плоскости. Найдем точку $R$ пересечения прямой $PM$ с отрезком $SQ$ (апофемой грани $SBC$). Точка $R$ является серединой верхнего основания $EF$ нашей трапеции.

Для нахождения координат точки $R$ введем систему координат в плоскости треугольника $SPQ$. Поместим начало координат в точку $O(0,0)$, ось абсцисс направим вдоль $PQ$, а ось ординат — вдоль $SO$. Координаты точек будут следующими: $S(0,6)$, $P(-4,0)$, $Q(4,0)$, $M(0,3)$.
Уравнение прямой, проходящей через точки $P(-4,0)$ и $M(0,3)$: $y - 0 = \frac{3-0}{0-(-4)}(x - (-4)) \implies y = \frac{3}{4}(x+4)$.
Уравнение прямой, проходящей через точки $S(0,6)$ и $Q(4,0)$: $y - 6 = \frac{0-6}{4-0}(x - 0) \implies y = -\frac{3}{2}x + 6$.
Найдем точку пересечения $R(x_R, y_R)$, решив систему уравнений: $\frac{3}{4}(x_R+4) = -\frac{3}{2}x_R + 6$
$3(x_R+4) = -6x_R + 24$
$3x_R + 12 = -6x_R + 24$
$9x_R = 12 \implies x_R = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
$y_R = -\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} + 6 = -2 + 6 = 4$.
Таким образом, точка $R$ имеет координаты $(\frac{4}{3}, 4)$.

Треугольники $\triangle SEF$ и $\triangle SBC$ подобны. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот, проведенных из вершины $S$. Это отношение равно отношению расстояний от $S$ до прямой $EF$ и до прямой $BC$, измеренных вдоль высоты $SO$. Расстояние от $S$ до прямой, проходящей через $R$ параллельно $PQ$, равно $SO - y_R = 6-4=2$. Полная высота $SO=6$. $k = \frac{SO - y_R}{SO} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Длина верхнего основания трапеции $EF$ равна: $EF = k \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot AD = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ дм.

Высота трапеции $h$ равна расстоянию между ее основаниями $AD$ и $EF$. В плоскости $SPQ$ это расстояние равно длине отрезка $PR$. Найдем ее, зная координаты точек $P(-4,0)$ и $R(\frac{4}{3}, 4)$: $h = PR = \sqrt{(x_R - x_P)^2 + (y_R - y_P)^2} = \sqrt{(\frac{4}{3} - (-4))^2 + (4 - 0)^2}$
$h = \sqrt{(\frac{16}{3})^2 + 4^2} = \sqrt{\frac{256}{9} + 16} = \sqrt{\frac{256+144}{9}} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}$ дм.

Теперь можем найти площадь трапеции $ADEF$: $A = \frac{AD+EF}{2} \cdot h = \frac{6+2}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{8}{2} \cdot \frac{20}{3} = 4 \cdot \frac{20}{3} = \frac{80}{3}$ дм².

Ответ: $\frac{80}{3}$ дм².