Страница 94 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

343. Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Пусть сторона квадрата равна a. Согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали квадрата равен сумме квадратов его сторон: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Отсюда можем выразить сторону квадрата a через его диагональ d: $a = \sqrt{\frac{d^2}{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Боковая поверхность цилиндра представляет собой развертку в виде прямоугольника. По условию задачи, эта развертка является квадратом со стороной a.

При сворачивании квадрата в цилиндр одна его сторона становится высотой цилиндра h, а другая — длиной окружности основания C. Таким образом, мы имеем: $h = a = \frac{d}{\sqrt{2}}$ $C = a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Длина окружности основания также вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где r — радиус основания цилиндра. Приравняем выражения для C, чтобы найти радиус: $2\pi r = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Выразим радиус r: $r = \frac{d}{2\pi\sqrt{2}}$

Теперь найдем площадь основания цилиндра, которое является кругом. Формула площади круга: $S = \pi r^2$. Подставим в нее найденное значение радиуса: $S = \pi \left(\frac{d}{2\pi\sqrt{2}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{d^2}{4\pi^2 \cdot 2} = \pi \cdot \frac{d^2}{8\pi^2}$

Сокращая $\pi$ в числителе и знаменателе, получаем окончательный результат: $S = \frac{d^2}{8\pi}$

Ответ: $\frac{d^2}{8\pi}$

344. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь:

а) осевого сечения цилиндра;

б) боковой поверхности цилиндра;

в) полной поверхности цилиндра.

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной $a$ вокруг одной из его сторон. Это означает, что высота цилиндра $h$ равна стороне квадрата, и радиус основания цилиндра $r$ также равен стороне квадрата. Таким образом, мы имеем:
Высота $h = a$.
Радиус $r = a$.

а) осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая — его диаметру $d$.
Высота сечения равна высоте цилиндра: $h = a$.
Ширина сечения равна диаметру основания: $d = 2r = 2a$.
Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ равна произведению его сторон:
$S_{сеч} = h \cdot d = a \cdot 2a = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

б) боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi r h$
Подставим наши значения $r=a$ и $h=a$:
$S_{бок} = 2 \pi \cdot a \cdot a = 2\pi a^2$.
Ответ: $2\pi a^2$.

в) полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований (двух кругов).
Площадь одного основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.
Так как $r=a$, то $S_{осн} = \pi a^2$.
Площадь полной поверхности равна:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 2\pi a^2 + 2 \cdot (\pi a^2) = 2\pi a^2 + 2\pi a^2 = 4\pi a^2$.
Ответ: $4\pi a^2$.

345. Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если AB = а, ВС = b.

а)

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = a$ и $BC = b$.

Рассмотрим первый цилиндр, который получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB.
Для этого цилиндра осью вращения является сторона AB, поэтому его высота $h_1$ равна длине стороны AB, а радиус его основания $r_1$ равен длине стороны BC.
Итак, для первого цилиндра имеем:
Высота $h_1 = AB = a$.
Радиус $r_1 = BC = b$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.
Для первого цилиндра площадь боковой поверхности $S_{бок1}$ составляет:
$S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a = 2\pi ab$.

Теперь рассмотрим второй цилиндр, который получен вращением того же прямоугольника ABCD вокруг прямой BC.
Для этого цилиндра осью вращения является сторона BC, поэтому его высота $h_2$ равна длине стороны BC, а радиус его основания $r_2$ равен длине стороны AB.
Итак, для второго цилиндра имеем:
Высота $h_2 = BC = b$.
Радиус $r_2 = AB = a$.

Для второго цилиндра площадь боковой поверхности $S_{бок2}$ составляет:
$S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b = 2\pi ab$.

Сравнивая полученные площади, видим, что $S_{бок1} = 2\pi ab$ и $S_{бок2} = 2\pi ab$.
Следовательно, $S_{бок1} = S_{бок2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади боковых поверхностей равны, так как каждая из них равна $2\pi ab$.

б)

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади его боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Поскольку площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$, формула для полной поверхности имеет вид: $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.

Найдем площадь полной поверхности первого цилиндра, у которого $h_1 = a$ и $r_1 = b$:
$S_{полн1} = 2\pi r_1 (h_1 + r_1) = 2\pi b (a + b)$.

Найдем площадь полной поверхности второго цилиндра, у которого $h_2 = b$ и $r_2 = a$:
$S_{полн2} = 2\pi r_2 (h_2 + r_2) = 2\pi a (b + a)$.

Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров (первого ко второму):
$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{2\pi b (a + b)}{2\pi a (b + a)}$

Так как $a+b = b+a$, мы можем сократить общие множители $2\pi$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{b}{a}$.

Ответ: Отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров равно $\frac{b}{a}$.