Номер 345, страница 94 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

345. Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны. б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если AB = а, ВС = b.

а)

Пусть дан прямоугольник ABCD со сторонами $AB = a$ и $BC = b$.

Рассмотрим первый цилиндр, который получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой AB.
Для этого цилиндра осью вращения является сторона AB, поэтому его высота $h_1$ равна длине стороны AB, а радиус его основания $r_1$ равен длине стороны BC.
Итак, для первого цилиндра имеем:
Высота $h_1 = AB = a$.
Радиус $r_1 = BC = b$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$.
Для первого цилиндра площадь боковой поверхности $S_{бок1}$ составляет:
$S_{бок1} = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a = 2\pi ab$.

Теперь рассмотрим второй цилиндр, который получен вращением того же прямоугольника ABCD вокруг прямой BC.
Для этого цилиндра осью вращения является сторона BC, поэтому его высота $h_2$ равна длине стороны BC, а радиус его основания $r_2$ равен длине стороны AB.
Итак, для второго цилиндра имеем:
Высота $h_2 = BC = b$.
Радиус $r_2 = AB = a$.

Для второго цилиндра площадь боковой поверхности $S_{бок2}$ составляет:
$S_{бок2} = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b = 2\pi ab$.

Сравнивая полученные площади, видим, что $S_{бок1} = 2\pi ab$ и $S_{бок2} = 2\pi ab$.
Следовательно, $S_{бок1} = S_{бок2}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Площади боковых поверхностей равны, так как каждая из них равна $2\pi ab$.

б)

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади его боковой поверхности и удвоенной площади основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
Поскольку площадь основания $S_{осн} = \pi r^2$, формула для полной поверхности имеет вид: $S_{полн} = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$.

Найдем площадь полной поверхности первого цилиндра, у которого $h_1 = a$ и $r_1 = b$:
$S_{полн1} = 2\pi r_1 (h_1 + r_1) = 2\pi b (a + b)$.

Найдем площадь полной поверхности второго цилиндра, у которого $h_2 = b$ и $r_2 = a$:
$S_{полн2} = 2\pi r_2 (h_2 + r_2) = 2\pi a (b + a)$.

Теперь найдем отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров (первого ко второму):
$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{2\pi b (a + b)}{2\pi a (b + a)}$

Так как $a+b = b+a$, мы можем сократить общие множители $2\pi$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_{полн1}}{S_{полн2}} = \frac{b}{a}$.

Ответ: Отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров равно $\frac{b}{a}$.