Номер 341, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Цилиндр. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 341, страница 93.

Условие.

341. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Высота цилиндра равна длине его образующей.

Площадь основания цилиндра $S$ — это площадь круга с радиусом $r$. Следовательно, формула для площади основания:
$S = \pi r^2$

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $d = 2r$ и высоте цилиндра $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют образующая (катет $h$), диаметр основания (катет $2r$) и диагональ осевого сечения (гипотенуза).

Согласно условию, угол $\phi$ — это угол между образующей (прилежащий катет $h$) и диагональю осевого сечения (гипотенуза). В данном прямоугольном треугольнике тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($2r$) к прилежащему катету ($h$):
$\tan(\phi) = \frac{2r}{h}$

Из этого соотношения выразим высоту $h$ через радиус $r$ и угол $\phi$:
$h = \frac{2r}{\tan(\phi)} = 2r \cot(\phi)$

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле, равной произведению длины окружности основания на высоту:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Теперь подставим найденное выражение для высоты $h$ в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \pi r (2r \cot(\phi))$
$S_{бок} = 4 \pi r^2 \cot(\phi)$

Мы знаем, что площадь основания $S = \pi r^2$. Заменим в полученном выражении $\pi r^2$ на $S$:
$S_{бок} = 4 S \cot(\phi)$

Ответ: $4S \cot(\phi)$