Номер 334, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

334. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 103 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

Сечение, образованное плоскостью, параллельной оси цилиндра, представляет собой прямоугольник.

Одна сторона этого прямоугольника равна образующей цилиндра, а другая - хорде, которую плоскость отсекает от окружности основания.

Пусть высота (образующая) цилиндра будет $h$, а длина хорды - $a$. По условию задачи, $h = 10\sqrt{3}$ см. Площадь сечения $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$.

Для нахождения длины хорды $a$ рассмотрим основание цилиндра. Пусть $O$ — центр окружности основания. Секущая плоскость отсекает от окружности дугу, градусная мера которой равна $60°$. Хорда, стягивающая эту дугу, обозначим как $AB$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, равен ее градусной мере, то есть $\angle AOB = 60°$.

Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности ($OA = OB = R$). Поскольку угол при вершине в равнобедренном треугольнике равен $60°$, то и углы при основании равны $(180° - 60°)/2 = 60°$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ — равносторонний, и длина хорды $a$ равна радиусу окружности: $a = AB = R$.

Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости — это расстояние от центра окружности $O$ до хорды $AB$. Обозначим это расстояние как $d$. По условию $d = 2$ см. Это расстояние равно длине высоты $OH$, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$ в треугольнике $\triangle AOB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (где $H$ — середина хорды $AB$). В этом треугольнике:

• $OH = d = 2$ см (катет)
• $AH = \frac{a}{2}$ (второй катет)
• $OA = R = a$ (гипотенуза)

В равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ высота $OH$ также является биссектрисой, поэтому $\angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OHA$ найдем длину катета $AH$:
$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH}$
$AH = OH \cdot \tan(30°) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Длина всей хорды $a$ равна:
$a = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь мы можем найти площадь сечения (прямоугольника):
$S = a \cdot h = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 10\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 10 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3} = \frac{40 \cdot 3}{3} = 40$ см².

Ответ: 40 см².