Номер 331, страница 93 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

331. Через образующую АА₁ цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен φ.

Обозначим высоту цилиндра через $h$, а радиус его основания — через $R$. Длина образующей $AA_1$ равна высоте цилиндра, то есть $|AA_1| = h$.

Одна из секущих плоскостей проходит через ось цилиндра и образующую $AA_1$. Сечение, образованное этой плоскостью, называется осевым. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются образующая цилиндра и его диаметр. Пусть площадь этого сечения будет $S_1$. Тогда ее значение равно:

$S_1 = h \cdot 2R$

Вторая секущая плоскость также проходит через образующую $AA_1$. Сечение, образованное этой плоскостью, также является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника — образующая $AA_1$ длиной $h$, а другая сторона — хорда основания цилиндра, которую мы обозначим как $b$. Пусть площадь этого сечения будет $S_2$. Тогда:

$S_2 = h \cdot b$

Угол между двумя плоскостями, пересекающимися по прямой $AA_1$, равен углу между линиями их пересечения с плоскостью, перпендикулярной $AA_1$. В данном случае, это плоскость основания цилиндра. Таким образом, угол $\varphi$ между секущими плоскостями равен углу между их следами в плоскости основания.

Следом первой (осевой) плоскости в основании является диаметр. Обозначим его $d = 2R$. Следом второй плоскости является хорда $b$. Угол между этим диаметром и хордой, выходящими из одной точки, равен $\varphi$.

Рассмотрим вид на основание цилиндра. У нас есть окружность радиуса $R$, диаметр и хорда, выходящие из одной точки $A$ на окружности. Пусть диаметр это $AC$, а хорда $AB$. Угол между ними $\angle CAB = \varphi$. Если соединить точки $B$ и $C$, мы получим треугольник $ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным и опирается на диаметр $AC$, следовательно, он прямой ($\angle ABC = 90^\circ$).

Треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $AC = 2R$. Длину хорды $b$ (катета $AB$) можно найти через косинус угла $\varphi$:

$b = |AB| = |AC| \cdot \cos(\varphi) = 2R \cos(\varphi)$

Теперь мы можем найти площадь второго сечения $S_2$:

$S_2 = h \cdot b = h \cdot 2R \cos(\varphi)$

Найдем отношение площадей сечений. Так как осевое сечение имеет наибольшую площадь, найдем отношение площади второго сечения к площади осевого:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{2Rh \cos(\varphi)}{2Rh} = \cos(\varphi)$

Если бы требовалось найти отношение площади осевого сечения к площади второго сечения, оно было бы равно $\frac{1}{\cos(\varphi)}$. В задаче порядок не указан, но обычно подразумевается отношение меньшей площади к большей.

Ответ: Отношение площадей сечений равно $\cos(\varphi)$ или $\frac{1}{\cos(\varphi)}$. Если рассматривать отношение площади неосевого сечения к площади осевого, то ответ будет $\cos(\varphi)$.