Номер 326, страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

326. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой AB и осью цилиндра равно d. Найдите: a) h, если r = 10 дм, d = 8 дм, AB = 13 дм; б) d, если h = 6 см, r = 5 см, AB = 10 см.

Для решения задачи рассмотрим вспомогательную конструкцию. Пусть $A_1$ — это проекция точки $A$ на плоскость нижнего основания цилиндра. Поскольку точка $A$ лежит на окружности верхнего основания, ее проекция $A_1$ будет лежать на окружности нижнего основания. Отрезок $A_1B$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость основания.

Рассмотрим треугольник $AA_1B$. Так как $AA_1$ — это перпендикуляр к плоскости основания (его длина равна высоте цилиндра $h$), то треугольник $AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. По теореме Пифагора имеем:

$AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2 = h^2 + A_1B^2$

Теперь рассмотрим нижнее основание цилиндра. Это круг радиуса $r$. Отрезок $A_1B$ является хордой в этом круге. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми — прямой $AB$ и осью цилиндра — равно расстоянию от центра окружности основания до хорды $A_1B$.

Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности $O_1$, точкой $B$ на окружности и серединой $K$ хорды $A_1B$. Треугольник $O_1KB$ является прямоугольным (так как радиус, проведенный в середину хорды, перпендикулярен ей). В этом треугольнике:

• гипотенуза $O_1B$ — это радиус $r$;
• катет $O_1K$ — это расстояние $d$;
• катет $KB$ — это половина хорды $A_1B$, то есть $\frac{A_1B}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1KB$:

$O_1B^2 = O_1K^2 + KB^2$

$r^2 = d^2 + \left(\frac{A_1B}{2}\right)^2$

Из этого соотношения выразим квадрат длины хорды $A_1B$:

$\frac{A_1B^2}{4} = r^2 - d^2 \implies A_1B^2 = 4(r^2 - d^2)$

Подставим полученное выражение для $A_1B^2$ в самую первую формулу:

$AB^2 = h^2 + 4(r^2 - d^2)$

Это основная формула, которая связывает все параметры задачи. Используем ее для решения подпунктов.

а)

Дано: $r = 10$ дм, $d = 8$ дм, $AB = 13$ дм. Необходимо найти высоту $h$.

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$13^2 = h^2 + 4(10^2 - 8^2)$

Выполним вычисления:

$169 = h^2 + 4(100 - 64)$

$169 = h^2 + 4(36)$

$169 = h^2 + 144$

Отсюда находим $h^2$:

$h^2 = 169 - 144 = 25$

Так как высота является положительной величиной, $h = \sqrt{25} = 5$ дм.

Ответ: 5 дм.

б)

Дано: $h = 6$ см, $r = 5$ см, $AB = 10$ см. Необходимо найти расстояние $d$.

Подставим известные значения в ту же формулу:

$10^2 = 6^2 + 4(5^2 - d^2)$

Выполним вычисления:

$100 = 36 + 4(25 - d^2)$

Перенесем 36 в левую часть:

$100 - 36 = 4(25 - d^2)$

$64 = 4(25 - d^2)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$16 = 25 - d^2$

Отсюда находим $d^2$:

$d^2 = 25 - 16 = 9$

Так как расстояние является положительной величиной, $d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.