Номер 323, страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Цилиндр. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 323, страница 92.

Условие.

323. Осевые сечения двух цилиндров равны. Верно ли, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. Такое сечение всегда имеет форму прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра ($h$) и диаметр его основания ($d = 2r$, где $r$ — радиус основания).

Условие, что осевые сечения двух цилиндров равны, означает, что прямоугольники, являющиеся этими сечениями, равны (конгруэнтны).

Рассмотрим два цилиндра.

• Первый цилиндр: высота $h_1$, радиус основания $r_1$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h_1$ и $2r_1$.
• Второй цилиндр: высота $h_2$, радиус основания $r_2$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h_2$ и $2r_2$.

Два прямоугольника равны, если их смежные стороны соответственно равны. Это означает, что возможны два случая:

1. $h_1 = h_2$ и $2r_1 = 2r_2$. В этом случае высоты цилиндров равны (и сами цилиндры равны).
2. $h_1 = 2r_2$ и $2r_1 = h_2$. В этом случае высота первого цилиндра равна диаметру второго, а диаметр первого — высоте второго.

Вопрос в задаче — верно ли, что высоты двух цилиндров всегда равны при равенстве их осевых сечений. Второй случай показывает, что это не так. Высоты могут быть разными.

Чтобы доказать это, приведем контрпример.

Пусть у первого цилиндра высота $h_1 = 10$ см, а радиус основания $r_1 = 4$ см. Тогда его осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 10 см и $2 \cdot 4 = 8$ см.

Возьмем второй цилиндр, у которого высота $h_2 = 8$ см, а диаметр основания $2r_2 = 10$ см (то есть радиус $r_2 = 5$ см). Его осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см.

Прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см равен прямоугольнику со сторонами 8 см и 10 см. Следовательно, осевые сечения данных цилиндров равны. Однако их высоты не равны: $h_1 = 10$ см, а $h_2 = 8$ см.

Таким образом, утверждение, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения, является неверным.

Ответ: Нет, не верно.