Номер 316, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра, равной $a$. Гранями этого тетраэдра являются четыре равных между собой правильных треугольника: $ABC, ABD, ACD, BCD$. Центр каждой грани (правильного треугольника) — это точка пересечения его медиан. Обозначим центры граней $BCD, ACD, ABD, ABC$ как $O_1, O_2, O_3, O_4$ соответственно. Требуется доказать, что многогранник $O_1O_2O_3O_4$ является правильным тетраэдром.

Для доказательства этого факта наиболее наглядно использовать метод геометрических преобразований, а именно гомотетию. Гомотетия является преобразованием подобия, которое переводит любую фигуру в подобную ей фигуру.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $O$, которая является центром исходного тетраэдра $ABCD$. Центр правильного тетраэдра — это точка, равноудаленная от всех его вершин, а также от всех его граней.

Возьмем одну из высот тетраэдра, например, опущенную из вершины $A$ на плоскость противоположной грани $BCD$. Основание этой высоты совпадает с центром грани $BCD$, то есть с точкой $O_1$. Известно, что центр правильного тетраэдра $O$ лежит на этой высоте $AO_1$ и делит ее в отношении $3:1$, считая от вершины. То есть, $AO : OO_1 = 3:1$.

Это означает, что вектор $\vec{OO_1}$ коллинеарен вектору $\vec{OA}$, направлен в противоположную сторону и его длина в 3 раза меньше. В векторной форме это записывается как:$$ \vec{OO_1} = -\frac{1}{3}\vec{OA} $$Таким образом, точка $O_1$ (центр грани $BCD$) является образом вершины $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = -1/3$.

В силу симметрии правильного тетраэдра, аналогичные соотношения справедливы для всех остальных вершин и центров противоположных им граней:

• Центр $O_2$ грани $ACD$ является образом вершины $B$: $\vec{OO_2} = -\frac{1}{3}\vec{OB}$.
• Центр $O_3$ грани $ABD$ является образом вершины $C$: $\vec{OO_3} = -\frac{1}{3}\vec{OC}$.
• Центр $O_4$ грани $ABC$ является образом вершины $D$: $\vec{OO_4} = -\frac{1}{3}\vec{OD}$.

Таким образом, тетраэдр $O_1O_2O_3O_4$ полностью является образом тетраэдра $ABCD$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = -1/3$.

Поскольку гомотетия является преобразованием подобия, она переводит любую фигуру в подобную ей фигуру. Так как исходная фигура $ABCD$ — правильный тетраэдр, то ее образ, тетраэдр $O_1O_2O_3O_4$, также является правильным тетраэдром. Все его ребра равны между собой, а грани являются правильными треугольниками. Длина ребра нового тетраэдра $a'$ связана с длиной ребра исходного тетраэдра $a$ через модуль коэффициента гомотетии: $a' = |k| \cdot a = \frac{1}{3}a$.

Ответ: Утверждение доказано. Фигура, образованная центрами граней правильного тетраэдра, является другим правильным тетраэдром. Он получается из исходного тетраэдра преобразованием гомотетии с центром в центре исходного тетраэдра и коэффициентом $k=-1/3$.