Номер 319, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?

Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все четыре грани являются равносторонними треугольниками. Пусть вершины тетраэдра обозначены как $A, B, C$ и $D$.

Плоскость симметрии — это такая плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальными отражениями друг друга.

Для правильного тетраэдра плоскость симметрии можно построить, взяв любое его ребро и середину противолежащего (скрещивающегося с ним) ребра. Такая плоскость будет делить тетраэдр на две равные части.

Всего у тетраэдра 6 ребер, которые образуют 3 пары противолежащих ребер:

• $AB$ и $CD$
• $AC$ и $BD$
• $AD$ и $BC$

Каждое ребро определяет одну плоскость симметрии. Например, плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину ребра $CD$, является плоскостью симметрии. Всего таких плоскостей 6 (по одной на каждое ребро).

Задача состоит в том, чтобы определить, сколько из этих 6 плоскостей симметрии проходят через одну конкретную, заранее выбранную вершину. Выберем для примера вершину $A$.

Плоскость симметрии будет проходить через вершину $A$, если она содержит ребро, начинающееся в этой вершине. Из вершины $A$ выходят три ребра: $AB, AC$ и $AD$.

1. Плоскость, проходящая через ребро $AB$ и середину ребра $CD$. Поскольку эта плоскость содержит ребро $AB$, она проходит через вершину $A$.

2. Плоскость, проходящая через ребро $AC$ и середину ребра $BD$. Поскольку эта плоскость содержит ребро $AC$, она проходит через вершину $A$.

3. Плоскость, проходящая через ребро $AD$ и середину ребра $BC$. Поскольку эта плоскость содержит ребро $AD$, она проходит через вершину $A$.

Оставшиеся три плоскости симметрии проходят через ребра $BC, BD$ и $CD$. Ни одно из этих ребер не содержит вершину $A$, поэтому и соответствующие им плоскости симметрии через вершину $A$ не проходят.

Таким образом, через данную вершину правильного тетраэдра проходят ровно 3 плоскости симметрии.

Ответ: 3