Номер 325, страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 1. Цилиндр. Глава 4. Цилиндр, конус и шар - номер 325, страница 92.

Условие.

325. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как 3π : 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь основания цилиндра, $S_{осн}$, вычисляется по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi r^2$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($d = 2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь осевого сечения, $S_{сеч}$, равна: $S_{сеч} = d \cdot h = 2rh$.

По условию задачи, отношение площади основания к площади осевого сечения равно $\sqrt{3}\pi : 4$: $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$.

Упростим это выражение, чтобы найти соотношение между высотой и радиусом. Сократим $\pi$ и $r$ в левой части: $\frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Из этого равенства найдем отношение высоты $h$ к диаметру $2r$. Умножим обе части на 2: $\frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда отношение высоты к диаметру будет: $\frac{h}{2r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол $\alpha$ между диагональю прямоугольника сечения и его стороной, которая является диаметром основания ($2r$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю сечения (гипотенуза), высотой цилиндра $h$ (катет, противолежащий искомому углу $\alpha$) и диаметром основания $2r$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$).

Тангенс этого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{h}{2r}$.

Как мы нашли ранее, $\frac{h}{2r} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Угол между диагоналями осевого сечения. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

Пусть $\beta$ — искомый угол между диагоналями. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника $h$. Угол при вершине этого треугольника (в точке пересечения диагоналей) является одним из углов между диагоналями. Опустим из этой вершины высоту на сторону $h$. Эта высота будет равна половине другой стороны прямоугольника, то есть $r$.

Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. Его катеты равны $r$ и $\frac{h}{2}$. Угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\beta}{2}$. Тангенс этого угла: $\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{h/2} = \frac{2r}{h}$.

Из соотношения $\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\frac{2r}{h} = \sqrt{3}$. Итак, $\tan(\frac{\beta}{2}) = \sqrt{3}$.

Это означает, что $\frac{\beta}{2} = 60^\circ$, и, следовательно, $\beta = 120^\circ$.

Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Один угол равен $120^\circ$ (тупой), а смежный с ним — $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (острый). Обычно под углом между прямыми понимают острый угол.

Ответ: $60^\circ$.