Номер 318, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.

Для доказательства утверждения найдем по отдельности величины двугранных углов правильного тетраэдра и правильного октаэдра, а затем сложим их.

1. Нахождение двугранного угла правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Пусть ребро тетраэдра равно $a$. Двугранный угол — это угол между двумя смежными гранями. В правильном тетраэдре все двугранные углы равны.

Рассмотрим тетраэдр $DABC$, где $ABC$ — основание. Двугранный угол при ребре $AB$ — это угол между плоскостями граней $ABC$ и $ABD$. Для его измерения построим линейный угол. Проведем в гранях $ABC$ и $ABD$ высоты $CM$ и $DM$ к общему ребру $AB$. Точка $M$ является серединой ребра $AB$.

Угол $\angle CMD$ является линейным углом искомого двугранного угла. Обозначим его как $\alpha$.

Длины отрезков $CM$ и $DM$ равны, так как они являются высотами в равных равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Отрезок $CD$ является ребром тетраэдра, поэтому его длина равна $a$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $CMD$. По теореме косинусов для этого треугольника: $CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$ $a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$): $1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(\alpha)$ $\frac{3}{2}\cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$

Таким образом, двугранный угол правильного тетраэдра $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: Двугранный угол правильного тетраэдра равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

2. Нахождение двугранного угла правильного октаэдра

Правильный октаэдр — это многогранник, все восемь граней которого являются равными равносторонними треугольниками. Все двугранные углы в правильном октаэдре равны. Пусть ребро октаэдра равно $a$.

Рассмотрим две смежные грани, имеющие общее ребро. Обозначим это ребро $AB$. Пусть эти грани — треугольники $ABP$ и $ABQ$. Вершины $P$ и $Q$ являются противоположными вершинами октаэдра (не смежными с $A$ или $B$ и не лежащими на ребре $AB$).

Для измерения двугранного угла $\beta$ между этими гранями построим его линейный угол. Проведем высоты $PM$ и $QM$ к общему ребру $AB$ из вершин $P$ и $Q$. Точка $M$ является серединой ребра $AB$.

Угол $\angle PMQ$ является линейным углом искомого двугранного угла $\beta$.

Длины отрезков $PM$ и $QM$ равны, так как это высоты в равных равносторонних треугольниках со стороной $a$. Следовательно, $PM = QM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Отрезок $PQ$ соединяет две противоположные вершины октаэдра. Его длина равна $a\sqrt{2}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $PMQ$. По теореме косинусов для этого треугольника: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 - 2 \cdot PM \cdot QM \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения: $(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\beta)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\beta)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$: $2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(\beta)$ $\frac{3}{2}\cos(\beta) = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$ $\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$

Таким образом, двугранный угол правильного октаэдра $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: Двугранный угол правильного октаэдра равен $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

3. Доказательство утверждения

Нам нужно доказать, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра ($\alpha$) и двугранного угла правильного октаэдра ($\beta$) равна $180^\circ$. $\alpha + \beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$

Используем известное тригонометрическое тождество: $\arccos(x) + \arccos(-x) = \pi$ (или $180^\circ$) для любого $x \in [-1, 1]$.

В нашем случае $x = \frac{1}{3}$, что удовлетворяет условию $x \in [-1, 1]$.

Следовательно, $\alpha + \beta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра действительно равна $180^\circ$.