Номер 314, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

314. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите стороны оснований пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида. В основаниях такой пирамиды лежат квадраты. Обозначим сторону большего основания как $a_1$, а сторону меньшего основания как $a_2$.

По условию задачи даны:

• высота пирамиды $h = 63$ см;
• апофема пирамиды $l = 65$ см;
• отношение сторон оснований $a_1 : a_2 = 7 : 3$.

Для решения задачи введём коэффициент пропорциональности $k$. Тогда стороны оснований можно выразить следующим образом:
$a_1 = 7k$
$a_2 = 3k$

Рассмотрим осевое сечение усечённой пирамиды, проходящее через её высоту и апофемы оснований. Это сечение является прямоугольной трапецией, у которой:

• один из катетов равен высоте пирамиды $h$;
• гипотенуза равна апофеме усечённой пирамиды $l$;
• второй катет равен разности радиусов вписанных в основания окружностей (или разности апофем оснований).

Апофема квадрата (радиус вписанной в него окружности) со стороной $a$ вычисляется по формуле $r = a/2$. Найдём апофемы оснований $r_1$ и $r_2$:
$r_1 = a_1/2 = \frac{7k}{2}$
$r_2 = a_2/2 = \frac{3k}{2}$

Разность апофем оснований будет равна:
$r_1 - r_2 = \frac{7k}{2} - \frac{3k}{2} = \frac{4k}{2} = 2k$

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, апофемой $l$ и разностью апофем оснований $(r_1 - r_2)$:
$l^2 = h^2 + (r_1 - r_2)^2$

Подставим известные значения в уравнение:
$65^2 = 63^2 + (2k)^2$
$4225 = 3969 + 4k^2$

Выразим и найдём $4k^2$:
$4k^2 = 4225 - 3969$
$4k^2 = 256$

Теперь найдём $k$:
$k^2 = \frac{256}{4}$
$k^2 = 64$
$k = \sqrt{64} = 8$ (так как длина стороны может быть только положительной).

Зная коэффициент пропорциональности $k$, вычислим стороны оснований:
Сторона большего основания: $a_1 = 7k = 7 \cdot 8 = 56$ см.
Сторона меньшего основания: $a_2 = 3k = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Ответ: стороны оснований пирамиды равны 56 см и 24 см.