Номер 317, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Для доказательства введем трехмерную декартову систему координат. Поместим центр куба в начало координат $O(0, 0, 0)$, а его ребра направим параллельно осям координат. Пусть длина ребра куба равна $2a$.

В этом случае шесть граней куба лежат в плоскостях $x = a$, $x = -a$, $y = a$, $y = -a$, $z = a$ и $z = -a$. Центры этих граней, которые будут являться вершинами нового многогранника, имеют следующие координаты: $V_1(a, 0, 0)$, $V_2(-a, 0, 0)$, $V_3(0, a, 0)$, $V_4(0, -a, 0)$, $V_5(0, 0, a)$, $V_6(0, 0, -a)$. Таким образом, наш многогранник имеет 6 вершин, что совпадает с количеством вершин у правильного октаэдра.

Правильный октаэдр — это многогранник, у которого все грани являются равными равносторонними треугольниками. Докажем, что многогранник с вершинами $V_1, ..., V_6$ обладает именно такими свойствами.

Сначала найдем длины ребер многогранника. Ребра соединяют центры смежных граней куба. Найдем расстояние между центрами двух любых смежных граней, например, между $V_1$ (центр грани $x=a$) и $V_3$ (центр грани $y=a$). Используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве, получаем:
$d = |V_1V_3| = \sqrt{(0-a)^2 + (a-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

В силу симметрии куба, расстояние между центрами любых двух смежных граней будет таким же. У куба 12 ребер, и каждому ребру соответствует пара смежных граней. Следовательно, наш многогранник имеет 12 ребер, и все они имеют одинаковую длину, равную $a\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим грани многогранника. Каждая грань образована тройкой вершин, которые являются центрами трех попарно смежных граней куба (такие три грани сходятся в одной из вершин куба). Например, вершине куба с координатами $(a, a, a)$ соответствуют центры граней $V_1(a, 0, 0)$, $V_3(0, a, 0)$ и $V_5(0, 0, a)$. Эти три точки образуют грань нашего многогранника — треугольник $\triangle V_1V_3V_5$.

Найдем длины сторон этого треугольника. Мы уже знаем, что $|V_1V_3| = a\sqrt{2}$. Найдем длины двух других сторон:
$|V_3V_5| = \sqrt{(0-0)^2 + (0-a)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
$|V_1V_5| = \sqrt{(0-a)^2 + (0-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle V_1V_3V_5$ равны, он является равносторонним. У куба 8 вершин, следовательно, существует 8 таких троек попарно смежных граней. Это означает, что наш многогранник имеет 8 граней. Из-за симметрии куба все эти 8 граней являются равными между собой равносторонними треугольниками.

Таким образом, мы показали, что многогранник, вершинами которого являются центры граней куба, имеет 6 вершин, 12 ребер равной длины и 8 граней, являющихся равными равносторонними треугольниками. Это в точности соответствует определению правильного октаэдра.

Ответ: Доказано, что многогранник, образованный центрами граней куба, является правильным октаэдром.