Номер 311, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС = 13 см, AB = 15 см, СВ = 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины А к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

а) Найдём площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$. Она равна сумме площади основания $S_{ABC}$ и площадей боковых граней $S_{DAB}$, $S_{DAC}$ и $S_{DBC}$.

$S_{полн} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC}$

1. Вычислим площадь основания $S_{ABC}$.
Основанием является треугольник со сторонами $AC=13$ см, $AB=15$ см, $CB=14$ см. Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона.
Полупериметр $p$ треугольника $ABC$ равен:
$p = (13 + 15 + 14) / 2 = 42 / 2 = 21$ см.
Площадь основания:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

2. Вычислим площади боковых граней.
По условию, ребро $DA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, следовательно, $DA \perp AB$ и $DA \perp AC$. Это означает, что треугольники $DAB$ и $DAC$ — прямоугольные.
Площадь грани $DAB$:
$S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 15 = 67,5$ см².
Площадь грани $DAC$:
$S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58,5$ см².
Для вычисления площади грани $DBC$ найдем её высоту, проведённую из вершины $D$. Проведём в треугольнике основания $ABC$ высоту $AM_1$ к стороне $BC$. Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM_1$, отсюда:
$AM_1 = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12$ см.
Так как $DA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $AM_1$ — проекция наклонной $DM_1$ на эту плоскость, и $AM_1 \perp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная $DM_1$ также перпендикулярна $BC$ ($DM_1 \perp BC$). Следовательно, $DM_1$ — высота треугольника $DBC$.
Рассмотрим треугольник $DAM_1$. Так как $DA \perp (ABC)$, то $DA \perp AM_1$, и треугольник $DAM_1$ является прямоугольным. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $DM_1$:
$DM_1 = \sqrt{DA^2 + AM_1^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь можем найти площадь грани $DBC$:
$S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DM_1 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 = 105$ см².

3. Вычислим площадь полной поверхности пирамиды.
$S_{полн} = S_{ABC} + S_{DAB} + S_{DAC} + S_{DBC} = 84 + 67,5 + 58,5 + 105 = 315$ см².

Ответ: $315$ см².

б) Доказательство.
Пусть $AK$ — перпендикуляр, проведённый из вершины $A$ к плоскости грани $BDC$. Требуется доказать, что основание перпендикуляра, точка $K$, лежит на высоте этой грани, проведённой из вершины $D$. Назовём эту высоту $DM_1$.
В плоскости основания $(ABC)$ проведем высоту $AM_1$ к стороне $BC$. Так как по условию $DA \perp (ABC)$, то $DA$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе $DA \perp BC$.
Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM_1$ и $DA$, которые лежат в плоскости $(DAM_1)$. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(DAM_1)$.
Плоскость $(BDC)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(DAM_1)$. По признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(BDC)$ перпендикулярна плоскости $(DAM_1)$.
Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая $DM_1$.
Перпендикуляр $AK$, опущенный из точки $A$ (которая принадлежит плоскости $(DAM_1)$) на плоскость $(BDC)$, должен лежать в плоскости $(DAM_1)$, а его основание $K$ — на линии пересечения плоскостей, то есть на прямой $DM_1$.
Как было показано в пункте а), отрезок $DM_1$ является высотой треугольника $DBC$.
Таким образом, доказано, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины $A$ к плоскости грани $BDC$, лежит на высоте этой грани.

Нахождение длины перпендикуляра.
Искомая длина перпендикуляра $AK$ — это высота прямоугольного треугольника $DAM_1$, проведённая из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $DM_1$.
Из пункта а) мы знаем длины сторон треугольника $DAM_1$: катеты $DA = 9$ см, $AM_1 = 12$ см, и гипотенуза $DM_1 = 15$ см.
Площадь прямоугольного треугольника $DAM_1$ можно вычислить как $S_{DAM_1} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AM_1$. Также площадь можно выразить через высоту к гипотенузе: $S_{DAM_1} = \frac{1}{2} \cdot DM_1 \cdot AK$.
Приравняв эти выражения, получим:
$DA \cdot AM_1 = DM_1 \cdot AK$
Отсюда выразим $AK$:
$AK = \frac{DA \cdot AM_1}{DM_1} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7,2$ см.

Ответ: длина перпендикуляра равна $7,2$ см.