Номер 308, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где основание $ABCD$ — ромб, а $S$ — вершина пирамиды. Сторона ромба $a = 5$ см, меньшая диагональ $d_1 = 6$ см. Высота пирамиды $H = 3,2$ см. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, высота пирамиды $SO$ проходит через точку $O$.

1. Рассмотрим основание пирамиды — ромб $ABCD$.
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Пусть $BD$ — меньшая диагональ, тогда $BD = d_1 = 6$ см. Пусть $AC$ — большая диагональ ($d_2$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$).
Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$:
$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Гипотенуза $AB$ — это сторона ромба, $AB = 5$ см.
По теореме Пифагора найдем катет $AO$:
$AO^2 + BO^2 = AB^2$
$AO^2 + 3^2 = 5^2$
$AO^2 + 9 = 25$
$AO^2 = 25 - 9 = 16$
$AO = \sqrt{16} = 4$ см.
Катет $AO$ — это половина большей диагонали $AC$, значит $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 4 = 8$ см.

2. Найдем высоту боковой грани.
Высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой. Так как высота пирамиды $SO$ проходит через центр ромба $O$, все боковые грани являются равными треугольниками, и их высоты (апофемы) равны между собой.
Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне ромба $AB$. $OK$ является высотой в треугольнике $AOB$.
Площадь прямоугольного треугольника $AOB$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$ см$^2$.
С другой стороны, $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OK$.
$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot OK = 6$
$OK = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2,4$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$.
В этом треугольнике:
- $SO$ — катет, равный высоте пирамиды ($H = 3,2$ см).
- $OK$ — катет, равный расстоянию от центра основания до стороны ($OK = 2,4$ см).
- $SK$ — гипотенуза, которая является высотой боковой грани $SAB$ (апофемой).
По теореме Пифагора найдем $SK$:
$SK^2 = SO^2 + OK^2$
$SK^2 = (3,2)^2 + (2,4)^2$
$SK^2 = 10,24 + 5,76$
$SK^2 = 16$
$SK = \sqrt{16} = 4$ см.
Так как все боковые грани равны, высоты всех боковых граней равны 4 см.

Ответ: 4 см.