Номер 307, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения. б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью ?, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру MA, и найдите площадь сечения.

1. Построение сечения.

Дана правильная пирамида MABCD, следовательно, в ее основании лежит квадрат ABCD, а вершина M проецируется в центр основания O — точку пересечения диагоналей AC и BD. Все боковые ребра пирамиды равны: $AM = BM = CM = DM = b$. Сторона основания $AD = a$.

Секущая плоскость ? проходит через диагональ основания BD и параллельна боковому ребру MA.

Поскольку плоскость ? содержит прямую BD, то точки B и D принадлежат сечению.

Для построения плоскости, которая проходит через прямую BD и параллельна прямой MA, нужно выбрать точку на прямой BD (например, точку O) и провести через нее прямую, параллельную MA. Точка O является серединой диагонали AC, а также серединой диагонали BD.

Рассмотрим плоскость диагонального сечения MAC. В этой плоскости лежат ребро MA и точка O. Проведем в плоскости MAC через точку O прямую, параллельную MA. Пусть эта прямая пересекает боковое ребро MC в точке K. Таким образом, мы получили прямую $OK \parallel MA$.

Поскольку прямая OK лежит в секущей плоскости ? ($O \in BD$, а $BD \subset \alpha$) и $OK \parallel MA$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, вся плоскость ? параллельна прямой MA.

Искомое сечение проходит через точки B, K, D. Следовательно, сечением является треугольник BKD.

2. Нахождение площади сечения.

Площадь треугольника BKD можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания треугольника BKD возьмем диагональ BD. Так как ABCD — квадрат со стороной $a$, его диагональ по теореме Пифагора равна $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь найдем высоту треугольника BKD, проведенную из вершины K к основанию BD.

В треугольнике MAC точка O является серединой стороны AC. По построению, $OK \parallel MA$. По теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает вторую сторону в ее середине, то она пересекает и третью сторону в ее середине. Следовательно, K — середина ребра MC. Таким образом, отрезок OK является средней линией треугольника MAC.

Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны: $OK = \frac{1}{2} MA$. По условию $AM = b$, значит $OK = \frac{b}{2}$.

Докажем, что OK является высотой треугольника BKD, то есть $KO \perp BD$.

• В правильной пирамиде высота MO перпендикулярна плоскости основания ABCD, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $MO \perp BD$.
• В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
• Поскольку прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым MO и AC, лежащим в плоскости MAC, то прямая BD перпендикулярна всей плоскости MAC.
• Так как прямая KO лежит в плоскости MAC, то $KO \perp BD$.

Таким образом, OK — высота треугольника BKD, проведенная к основанию BD.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения:

$S_{BKD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) = \frac{ab\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Сечением является треугольник BKD, где K — середина ребра MC. Площадь сечения равна $\frac{ab\sqrt{2}}{4}$.

б) Докажите, что точки M и C равноудалены от плоскости ?.

Требуется доказать, что расстояние от точки M до плоскости ? (плоскости BKD) равно расстоянию от точки C до той же плоскости.

Из построения в пункте а) мы установили, что точка K, принадлежащая плоскости сечения ?, является серединой бокового ребра MC. Это означает, что $MK = KC$.

Таким образом, отрезок MC пересекает плоскость ? в точке K, которая является его серединой.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры из точек M и C на плоскость ?. Пусть $MH_M$ — перпендикуляр из M, а $CH_C$ — перпендикуляр из C. Длины этих перпендикуляров, $MH_M$ и $CH_C$, являются искомыми расстояниями.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MKH_M$ и $\triangle CKH_C$.

• Углы $\angle MH_MK$ и $\angle CH_CK$ являются прямыми ($90^\circ$) по определению перпендикуляра к плоскости.
• Гипотенузы равны: $MK = CK$, так как K — середина отрезка MC.
• Углы $\angle MKH_M$ и $\angle CKH_C$ равны как вертикальные. (Прямые $MH_M$ и $CH_C$ параллельны друг другу, так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости ?. Следовательно, точки M, K, C, H_M, H_C лежат в одной плоскости, а прямые MC и H_MH_C пересекаются в точке K).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle MKH_M$ и $\triangle CKH_C$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $MH_M = CH_C$.

Это означает, что расстояние от точки M до плоскости ? равно расстоянию от точки C до плоскости ?, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.