Номер 300, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, AB и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно b.

Определение вида сечения

Пусть дана правильная треугольная пирамида $DABC$, где $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, а боковые ребра $DA = DB = DC = b$. Точки $E$, $F$ и $P$ — середины сторон $BC$, $AB$ и $AD$ соответственно. Построим сечение, проходящее через эти три точки.

1. Соединим точки $E$ и $F$, лежащие в плоскости основания $ABC$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $EF$ параллелен стороне $AC$ и его длина равна половине длины $AC$: $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.

2. Соединим точки $F$ и $P$, лежащие в плоскости боковой грани $DAB$. Отрезок $FP$ является средней линией треугольника $DAB$. Следовательно, $FP$ параллелен боковому ребру $DB$ и его длина равна половине длины $DB$: $FP \parallel DB$ и $FP = \frac{1}{2}DB = \frac{b}{2}$.

3. Поскольку $FP \parallel DB$, то прямая $DB$ параллельна плоскости сечения $(EFP)$. Плоскость сечения пересекает плоскость грани $DBC$ (которая содержит прямую $DB$) по прямой, проходящей через точку $E$ и параллельной $DB$. Проведем в плоскости $DBC$ прямую через $E$ параллельно $DB$. Пусть она пересекает ребро $DC$ в точке $Q$. Так как $E$ — середина $BC$ и $EQ \parallel DB$, то $EQ$ — средняя линия треугольника $DBC$. Значит, точка $Q$ — середина ребра $DC$.

4. Четырехугольник $EFQP$ является искомым сечением. Определим его вид.

• Мы уже установили, что $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{a}{2}$.
• Рассмотрим сторону $PQ$. Точки $P$ и $Q$ являются серединами ребер $AD$ и $DC$ соответственно. Значит, $PQ$ — средняя линия треугольника $ADC$. Следовательно, $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
• Из $EF \parallel AC$ и $PQ \parallel AC$ следует, что $EF \parallel PQ$. Так как $EF = PQ = \frac{a}{2}$, то четырехугольник $EFQP$ — параллелограмм.
• Мы знаем, что $FP = \frac{b}{2}$ и $EQ = \frac{b}{2}$.

5. Чтобы определить, является ли параллелограмм прямоугольником, проверим перпендикулярность его смежных сторон, например, $FP$ и $PQ$. Так как $FP \parallel DB$ и $PQ \parallel AC$, то угол между $FP$ и $PQ$ равен углу между скрещивающимися прямыми $DB$ и $AC$.

Докажем, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра $AC$ и $DB$ перпендикулярны.

• Пусть $M$ — середина ребра $AC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является также высотой, поэтому $BM \perp AC$.
• В равнобедренном треугольнике $DAC$ ($DA=DC=b$) медиана $DM$ также является высотой, поэтому $DM \perp AC$.
• Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BM$ и $DM$) в плоскости $DBM$. Следовательно, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $DBM$.
• Прямая $DB$ лежит в плоскости $DBM$.
• Следовательно, $AC \perp DB$.

Поскольку $FP \parallel DB$ и $PQ \parallel AC$, а $AC \perp DB$, то и $FP \perp PQ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $EFQP$ — это прямоугольник.

Ответ: Сечение является прямоугольником.

Нахождение площади сечения

Мы определили, что сечение является прямоугольником $EFQP$. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Длины сторон прямоугольника были найдены ранее:

• $EF = PQ = \frac{a}{2}$
• $FP = EQ = \frac{b}{2}$

Площадь сечения $S$ равна: $S_{EFQP} = EF \cdot FP = \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}$.

Ответ: $\frac{ab}{4}$.