Номер 305, страница 87 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Правильные многогранники, дополнительные задачи. Глава 3. Многогранники - номер 305, страница 87.

Условие.

305. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Основание является квадратом, а высота пирамиды $SO=h$ проецируется в центр квадрата $O$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ складывается из площадей четырёх равных равнобедренных треугольников, являющихся боковыми гранями.$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB}$.

Плоский угол при вершине пирамиды равен $\alpha$, это означает, что угол в каждой боковой грани при вершине $S$ равен $\alpha$, то есть $\angle ASB = \alpha$. Боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим длину бокового ребра через $L$, то есть $SA = SB = SC = SD = L$.

Площадь боковой грани $\triangle SAB$ можно вычислить по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB \cdot \sin(\angle ASB) = \frac{1}{2} L^2 \sin\alpha$.

Тогда площадь всей боковой поверхности равна:$S_{бок} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2} L^2 \sin\alpha\right) = 2 L^2 \sin\alpha$.

Для нахождения итогового ответа необходимо выразить $L$ через заданные в условии величины: высоту $h$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$, образованный высотой пирамиды $SO$, боковым ребром $SA$ и половиной диагонали основания $OA$. В этом треугольнике $SO = h$ и $SA = L$.

Пусть сторона квадрата в основании равна $a$. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2}$, а её половина $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.По теореме Пифагора для $\triangle SOA$:$L^2 = SO^2 + OA^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{2}$.

Теперь найдём связь между $a$, $L$ и $\alpha$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SAB$ (боковой грани) стороны равны $SA=SB=L$, основание $AB=a$, а угол при вершине $\angle ASB = \alpha$. Проведём высоту $SM$ из вершины $S$ к основанию $AB$. Эта высота является также медианой и биссектрисой.В получившемся прямоугольном треугольнике $\triangle SMA$ катет $AM = \frac{a}{2}$, гипотенуза $SA = L$ и угол $\angle ASM = \frac{\alpha}{2}$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике:$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{AM}{SA} = \frac{a/2}{L}$.Отсюда выразим сторону основания $a$:$a = 2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим полученное выражение для $a$ в уравнение теоремы Пифагора:$L^2 = h^2 + \frac{\left(2L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2}{2} = h^2 + \frac{4L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2} = h^2 + 2L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Теперь решим это уравнение относительно $L^2$:$L^2 - 2L^2 \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = h^2$$L^2\left(1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = h^2$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, получаем:$L^2 \cos\alpha = h^2$.Отсюда, $L^2 = \frac{h^2}{\cos\alpha}$.

Наконец, подставим это выражение для $L^2$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = 2 L^2 \sin\alpha = 2 \cdot \frac{h^2}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha$.

Учитывая, что $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем окончательное выражение:$S_{бок} = 2h^2 \tan\alpha$.

Ответ: $2h^2 \tan\alpha$.